mathématiques MPSI · Chapitre 12 · Exercice de TD

Problème — Noyaux itérés et décomposition de Fitting

Espaces vectoriels et applications linéaires · D. Applications linéaires, noyaux et images · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension $n \geq 1$ et $u \in L (E)$ . Pour $k \in N$ , on note $N_{k} = Ker u^{k}$ et $I_{k} = Im u^{k}$ (avec $u^{0} = id$ ).

1) Montrer que la suite $(N_{k})$ est croissante pour l'inclusion et $(I_{k})$ décroissante. Montrer que si $N_{k} = N_{k + 1}$ pour un certain $k$ , alors $N_{k + 1} = N_{k + 2}$ — et donc $N_{j} = N_{k}$ pour tout $j \geq k$ .

2) En déduire qu'il existe un plus petit entier $p$ tel que $N_{p} = N_{p + 1}$ , que les inclusions $N_{0} ⊊ N_{1} ⊊ \dots ⊊ N_{p}$ sont strictes, et que $p \leq n$ . Montrer que $(I_{k})$ stationne à partir du même rang $p$ .

3) Montrer que $N_{p} \cap I_{p} = {0}$ , puis que $E = N_{p} \oplus I_{p}$ .

4) Montrer que $N_{p}$ et $I_{p}$ sont stables par $u$ , et que $u$ induit sur $I_{p}$ un automorphisme.

5) Montrer que $u$ induit sur $N_{p}$ un endomorphisme nilpotent, dont l'indice de nilpotence est exactement $p$ (si $p \geq 1$ ). Énoncer la décomposition obtenue.

6) Application : si $u$ est nilpotent (il existe $k$ avec $u^{k} = 0$ ), montrer que $u^{n} = 0$ et que $u$ n'est pas inversible. Que vaut la décomposition pour un projecteur ? pour un automorphisme ?

Corrigé de la question 1

1) Monotonie et stationnarité. Croissance des noyaux. Si $u^{k} (x) = 0$ , alors $u^{k + 1} (x) = u (u^{k} (x)) = u (0) = 0$ : $N_{k} \subset N_{k + 1}$ . Décroissance des images. Si $y = u^{k + 1} (x) = u^{k} (u (x))$ , alors $y \in I_{k}$ : $I_{k + 1} \subset I_{k}$ .

Stationnarité. Supposons $N_{k} = N_{k + 1}$ , et soit $x \in N_{k + 2}$ : $u^{k + 2} (x) = u^{k + 1} (u (x)) = 0$ , donc $u (x) \in N_{k + 1} = N_{k}$ , donc $u^{k} (u (x)) = 0$ , c'est-à-dire $u^{k + 1} (x) = 0$ : $x \in N_{k + 1}$ . Ainsi $N_{k + 2} \subset N_{k + 1}$ , et avec la croissance, $N_{k + 2} = N_{k + 1}$ . Par récurrence immédiate, $N_{j} = N_{k}$ pour tout $j \geq k$ : dès que la suite des noyaux stationne une fois, elle stationne pour toujours.

Le point délicat. L'argument consiste à faire passer $u (x)$ d'un noyau à l'autre : on « décale » d'un cran, et l'hypothèse $N_{k + 1} = N_{k}$ ramène d'un cran. C'est une propriété de la suite, pas de $u$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour l'existence de $p$ , je voudrais dire que la suite $(N_{k})$ est croissante et « bornée » par $E$ , donc qu'elle finit par stationner. Mais une suite croissante de sous-espaces, ça converge en quel sens ?

Ta méfiance est justifiée : il n'y a pas de notion de limite pour des sous-espaces. Ramène-toi à une suite de nombres que tu sais manier : laquelle, et quelles propriétés a-t-elle ? Et que peux-tu dire de deux sous-espaces emboîtés qui ont la même dimension ?

Élève

La suite $(dim N_{k})$ est croissante, à valeurs entières entre $0$ et $n$ , et deux sous-espaces emboîtés de même dimension sont égaux. Je dois donc montrer que cette suite d'entiers ne peut pas croître strictement à chaque rang.

C'est cela. Pour la borne sur $p$ , que donnent les inclusions strictes avant le rang $p$ sur les dimensions, en partant de $dim N_{0}$ ? Et pour les images, quel théorème relie $dim I_{k}$ à $dim N_{k}$ , et qu'en tires-tu sur leurs rangs de stationnement ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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