Sous-espace ou pas ?

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques MPSI, chapitre 12 — Espaces vectoriels et applications linéaires · A. Espaces et sous-espaces vectoriels

Énoncé

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels ? $F_{1} = {(x, y, z) \in R^{3} : x + y - z = 0}, F_{2} = {(x, y) \in R^{2} : x y = 0},$ $F_{3} = {P \in R [X] : P (1) = 0}, F_{4} = {f : f (0) = 1} .$

Corrigé

$F_{1}$ : oui — noyau de la forme linéaire $(x, y, z) \mapsto x + y - z$ : un plan vectoriel.

$F_{2}$ : non — $(1, 0)$ et $(0, 1)$ y sont, mais leur somme $(1, 1)$ non : la réunion des deux axes n'est pas stable.

$F_{3}$ : oui — noyau de la forme d'évaluation $P \mapsto P (1)$ : un hyperplan de $R [X]$ .

$F_{4}$ : non — la fonction nulle n'y est pas : éliminatoire d'office.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.