mathématiques MPSI · Chapitre 12 · Exercice de TD

Les polynômes qui valent $1$ en $0$ et $2$ en $1$

Espaces vectoriels et applications linéaires · G. Géométrie affine et problèmes linéaires · niveau 2

Énoncé

Soit $Φ : R [X] \to R^{2}$ , $Q \mapsto (Q (0), Q (1))$ , et $E = {Q \in R [X] : Q (0) = 1, Q (1) = 2}$ .

1) Montrer que $Φ$ est linéaire et surjective, et que $Ker Φ = X (X - 1) R [X]$ .

2) En déduire que $E$ est un sous-espace affine de $R [X]$ , en donner un point et la direction. Interpréter $E$ comme intersection de deux hyperplans affines.

3) Pour $n \geq 1$ , quelle est la dimension du sous-espace affine $E \cap R_{n} [X]$ ?

4) Généraliser : pour $a_{1}, \dots, a_{k}$ distincts et $b_{1}, \dots, b_{k}$ donnés, décrire l'ensemble des $Q \in R_{n} [X]$ ( $n \geq k - 1$ ) tels que $Q (a_{i}) = b_{i}$ : point, direction, dimension. Retrouver « tous les polynômes interpolants » du chapitre 10.

Corrigé de la question 1

La stratégie. Un problème linéaire avec second membre, $Φ (Q) = (1, 2)$ : le théorème unificateur du cours dit que ses solutions forment un sous-espace affine, une solution particulière plus le noyau. Tout revient à trouver le noyau.

1) L'application $Φ$ . Linéarité. Chaque évaluation $Q \mapsto Q (a)$ est linéaire, donc $Φ$ , dont les deux composantes sont des évaluations, l'est. Surjectivité. Pour $(α, β) \in R^{2}$ , le polynôme $Q = α + (β - α) X$ vérifie $Q (0) = α$ , $Q (1) = β$ . Noyau. $Q \in Ker Φ$ signifie $Q (0) = Q (1) = 0$ : $0$ et $1$ sont racines de $Q$ , distinctes, donc $X (X - 1)$ divise $Q$ (chapitre 10), et $Q \in X (X - 1) R [X]$ ; réciproquement tout multiple de $X (X - 1)$ s'annule en $0$ et $1$ . Donc $Ker Φ = X (X - 1) R [X]$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) En déduire que $E$ est un sous-espace affine de $R [X]$ , en donner un point et la direction. Interpréter $E$ comme intersection de deux hyperplans affines.

Élève

Je vois que $E$ n'est pas un sous-espace vectoriel, puisque le polynôme nul n'y est pas. Mais je ne vois pas comment le 1) sert à montrer que c'est un sous-espace affine.

Peux-tu traduire la condition $Q \in E$ par une seule équation faisant intervenir $Φ$ ? Que dit le cours sur l'ensemble des solutions d'une équation $u (x) = b$ , avec $u$ linéaire ?

Élève

C'est $Φ (Q) = (1, 2)$ . Comme $Φ$ est surjective, il y a au moins une solution, et l'ensemble est une solution particulière plus le noyau. Il me reste à trouver une solution particulière.

Un polynôme de degré au plus $1$ peut-il suffire ? Pour la seconde partie : chacune des conditions $Q (0) = 1$ et $Q (1) = 2$ , prise seule, s'écrit $φ (Q) = b$ ; quelle propriété de $φ$ fait de cet ensemble un hyperplan affine ?

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