Les polynômes qui valent $1$ en $0$ et $2$ en $1$

La stratégie. Un problème linéaire avec second membre, $\Phi (Q)=(1,2)$ : le théorème unificateur du cours dit que ses solutions forment un sous-espace affine, une solution particulière plus le noyau. Tout revient à trouver le noyau.

1) L'application $\Phi$. Linéarité. Chaque évaluation $Q\mapsto Q(a)$ est linéaire, donc $\Phi$, dont les deux composantes sont des évaluations, l'est. Surjectivité. Pour $(\alpha ,\beta )\in {\mathbb{R}}^2$, le polynôme $Q=\alpha +(\beta -\alpha )X$ vérifie $Q(0)=\alpha$, $Q(1)=\beta$. Noyau. $Q\in \mathrm{Ker}\Phi$ signifie $Q(0)=Q(1)=0$ : $0$ et $1$ sont racines de $Q$, distinctes, donc $X(X-1)$ divise $Q$ (chapitre 10), et $Q\in X(X-1)\mathbb{R}[X]$ ; réciproquement tout multiple de $X(X-1)$ s'annule en $0$ et $1$. Donc $\mathrm{Ker}\Phi =X(X-1)\mathbb{R}[X]$.

2) Le sous-espace affine. $\mathcal{E}$ est l'ensemble des solutions de l'équation linéaire $\Phi (Q)=(1,2)$. Une solution particulière : $Q_0=X+1$ ($Q_0(0)=1$, $Q_0(1)=2$). Par le théorème du cours, $\mathcal{E}=Q_0+\mathrm{Ker}\Phi$ : $$\mathcal{E}=(X+1)+X(X-1)\mathbb{R}[X],$$ sous-espace affine de point $X+1$ et de direction $X(X-1)\mathbb{R}[X]$. Redémontrons-le en une ligne : $\Phi (Q)=(1,2)⟺\Phi (Q)-\Phi (Q_0)=0⟺\Phi (Q-Q_0)=0⟺Q-Q_0\in \mathrm{Ker}\Phi$.

Intersection de deux hyperplans affines. $\{Q:Q(0)=1\}$ est l'ensemble des solutions de ${\mathrm{ev}}_0(Q)=1$, où ${\mathrm{ev}}_0:Q\mapsto Q(0)$ est une forme linéaire non nulle : c'est un hyperplan affine, de direction l'hyperplan $\mathrm{Ker}{\mathrm{ev}}_0=X\mathbb{R}[X]$. De même $\{Q:Q(1)=2\}$ est un hyperplan affine de direction $(X-1)\mathbb{R}[X]$. Leur intersection est $\mathcal{E}$, non vide, dirigée par l'intersection des directions $X\mathbb{R}[X]\cap (X-1)\mathbb{R}[X]=X(X-1)\mathbb{R}[X]$ — conformément au cours.

3) La dimension en degré borné. $\mathcal{E}\cap {\mathbb{R}}_n[X]$ est non vide ($X+1$ y est, $n\ge 1$) ; c'est un sous-espace affine de ${\mathbb{R}}_n[X]$ de direction $\mathrm{Ker}\Phi \cap {\mathbb{R}}_n[X]$, l'ensemble des multiples de $X(X-1)$ de degré au plus $n$, c'est-à-dire $X(X-1){\mathbb{R}}_{n-2}[X]$ pour $n\ge 2$ (avec la convention ${\mathbb{R}}_{-1}[X]=\{0\}$ pour $n=1$). Sa dimension est celle de ${\mathbb{R}}_{n-2}[X]$, soit $n-1$ — l'application $R\mapsto X(X-1)R$ est un isomorphisme de ${\mathbb{R}}_{n-2}[X]$ sur cette direction. On peut le retrouver par le théorème du rang : la restriction de $\Phi$ à ${\mathbb{R}}_n[X]$ est encore surjective sur ${\mathbb{R}}^2$ (le polynôme $\alpha +(\beta -\alpha )X$ est de degré au plus $1\le n$), donc son noyau est de dimension $(n+1)-2=n-1$. $$\dim (\mathcal{E}\cap {\mathbb{R}}_n[X])=n-1.$$ Pour $n=1$ : dimension $0$, un seul polynôme, $X+1$ — la droite passant par deux points. Pour $n=2$ : une droite affine de paraboles.

4) La généralisation. Soit ${\Phi }_k:{\mathbb{R}}_n[X]\to {\mathbb{R}}^k$, $Q\mapsto (Q(a_1),\dots ,Q(a_k))$, linéaire. Elle est surjective : pour tout $(b_1,\dots ,b_k)$, le polynôme interpolateur de Lagrange $L={\sum }_i{b}_i{L}_i$ est de degré au plus $k-1\le n$ et vérifie $L(a_i)=b_i$. Son noyau est l'ensemble des $Q\in {\mathbb{R}}_n[X]$ ayant les $k$ racines distinctes $a_1,\dots ,a_k$, c'est-à-dire les multiples de $\Pi ={\prod }_{i=1}^k(X-a_i)$ de degré au plus $n$ : $\mathrm{Ker}{\Phi }_k=\Pi \cdot {\mathbb{R}}_{n-k}[X]$, de dimension $n-k+1$ — ce que le théorème du rang confirme : $(n+1)-k$. L'ensemble cherché est donc le sous-espace affine $$L+\Pi \cdot {\mathbb{R}}_{n-k}[X],\text{de dimension }n-k+1.$$ Pour $n=k-1$, la dimension est $0$ : le polynôme interpolateur de degré au plus $k-1$ est unique — c'est le théorème d'interpolation de Lagrange du chapitre 10. Pour $n>k-1$, « tous les polynômes interpolants » sont $L$ plus un multiple quelconque de $\Pi$ de degré convenable : exactement la description donnée au chapitre 10, relue ici comme un sous-espace affine.

Ce que l'exercice installe. Un problème linéaire avec second membre se lit toujours de la même façon : une solution particulière plus le noyau, et le noyau se calcule. Le chapitre 10 disait « les polynômes interpolants sont $L+\Pi R$ » ; ce chapitre dit pourquoi cette forme est inévitable, et compte les degrés de liberté. Systèmes linéaires, équations différentielles, suites récurrentes, interpolation : un seul théorème.