Calcul matriciel et systèmes linéaires

Cours · mathématiques MPSI, chapitre 9 · MPSI (classe préparatoire scientifique) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une matrice échelonnée par le pivot de Gauss : pivots sur la diagonale, zéros en dessous.

9.1 Introduction et motivation

Ce chapitre est une initiation au calcul matriciel, avec un triple objectif : préparer l'étude géométrique de l'algèbre linéaire menée au second semestre, revenir sur les systèmes linéaires du chapitre 2 avec un langage plus puissant, et fournir des exemples fondamentaux d'anneaux — le premier anneau non commutatif rencontré dans ce cours, où tous les pièges annoncés au chapitre précédent (produit non commutatif, diviseurs de zéro, éléments nilpotents) deviennent concrets.

Inventées par Cayley et Sylvester au XIX^e siècle comme simple notation pour les systèmes linéaires, les matrices sont devenues le langage universel du calcul scientifique : une image numérique est une matrice de pixels, un réseau social une matrice d'adjacence, et l'algorithme PageRank de Google un calcul de puissances de matrice. Dans tout le chapitre, $K$ désigne $R$ ou $C$ .

9.2 Opérations sur les matrices

9.2.1 L'espace des matrices

Définition 9.1Matrices

Soient $n, p \in N^{*}$ . Une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $K$ est un tableau rectangulaire

$A = (a_{i, j})_{1 \leq i \leq n 1 \leq j \leq p} = a_{1, 1} a_{2, 1} ⋮ a_{n, 1} a_{1, 2} a_{2, 2} a_{n, 2} \dots \dots \dots a_{1, p} a_{2, p} ⋮ a_{n, p},$

où $a_{i, j} \in K$ est le coefficient situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ . Leur ensemble est noté $M_{n, p} (K)$ . Cas particuliers : les matrices colonnes ( $p = 1$ ), les matrices lignes ( $n = 1$ ), et les matrices carrées ( $n = p$ ), dont l'ensemble est noté $M_{n} (K)$ .

Définition 9.2Combinaisons linéaires

On définit sur $M_{n, p} (K)$ l'addition et la multiplication par un scalaire, coefficient par coefficient :

$(A + B)_{i, j} = a_{i, j} + b_{i, j}, (λ A)_{i, j} = λ a_{i, j} (λ \in K) .$

$(M_{n, p} (K), +)$ est un groupe abélien, de neutre la matrice nulle $0_{n, p}$ ; on peut donc former des combinaisons linéaires $λ A + μ B$ de matrices de même taille.

Définition 9.3Matrices élémentaires

Pour $1 \leq i \leq n$ et $1 \leq j \leq p$ , la matrice élémentaire $E_{i, j} \in M_{n, p} (K)$ est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui de la ligne $i$ et de la colonne $j$ , qui vaut $1$ .

Proposition 9.4

Toute matrice de $M_{n, p} (K)$ est combinaison linéaire de matrices élémentaires, de façon unique :

$A = i = 1 \sum n j = 1 \sum p a_{i, j} E_{i, j} .$

Les $E_{i, j}$ jouent pour les matrices le rôle que jouent les chiffres pour les nombres : une « base » de décomposition (le mot prendra son sens précis au second semestre).

9.2.2 Produit matriciel

Définition 9.5Produit matriciel

Soient $A = (a_{i, k}) \in M_{n, p} (K)$ et $B = (b_{k, j}) \in M_{p, q} (K)$ — le nombre de colonnes de $A$ doit égaler le nombre de lignes de $B$ . Le produit $A B \in M_{n, q} (K)$ est défini par :

$(A B)_{i, j} = k = 1 \sum p a_{i, k} b_{k, j} :$

le coefficient $(i, j)$ s'obtient en parcourant la ligne $i$ de $A$ et la colonne $j$ de $B$ .

Exemple 9.6

$(1324) (0110) = (2413)$ mais $(0110) (1324) = (3142)$ : multiplier à droite par la matrice d'échange permute les colonnes, à gauche les lignes — et le produit n'est pas commutatif !

Proposition 9.7Le produit

A X

: combinaison des colonnes

Soit $A \in M_{n, p} (K)$ de colonnes $C_{1}, \dots, C_{p}$ , et $X = x_{1} ⋮ x_{p}$ une matrice colonne. Alors :

$A X = x_{1} C_{1} + x_{2} C_{2} + \dots + x_{p} C_{p} :$

$A X$ est la combinaison linéaire des colonnes de $A$ à coefficients les composantes de $X$ . Ce point de vue « par colonnes » est la clé de la théorie des systèmes linéaires.

◆Théorème 9.8Propriétés du produit

Sous réserve de compatibilité des tailles :

Bilinéarité : $A (λ B + μ C) = λ A B + μ A C$ et $(λ A + μ B) C = λ A C + μ B C$ ;
Associativité : $(A B) C = A (B C)$ .

Démonstration (Démonstration de l'associativité)

Comparons les coefficients, en échangeant deux sommes finies (chapitre 2) :

$((A B) C)_{i, j} = l \sum (A B)_{i, l} c_{l, j} = l \sum k \sum a_{i, k} b_{k, l} c_{l, j} = k \sum a_{i, k} l \sum b_{k, l} c_{l, j} = (A (B C))_{i, j} .$

Définition 9.9Symbole de Kronecker

Pour des indices $i, j$ , le symbole de Kronecker est défini par :

$δ_{i, j} = {10 si i = j, si i \neq = j .$

Ainsi la matrice identité (ci-dessous) s'écrit $I_{n} = (δ_{i, j})$ .

Proposition 9.10Produit de matrices élémentaires

Pour $E_{i, j} \in M_{n, p} (K)$ et $E_{k, l} \in M_{p, q} (K)$ :

$E_{i, j} E_{k, l} = δ_{j, k} E_{i, l} :$

le produit est nul sauf si les indices « intérieurs » se raccordent ( $j = k$ ), auquel cas il vaut $E_{i, l}$ .

Démonstration

$(E_{i, j} E_{k, l})_{r, s} = \sum_{m} (E_{i, j})_{r, m} (E_{k, l})_{m, s} = \sum_{m} δ_{r, i} δ_{m, j} δ_{m, k} δ_{s, l}$ : la somme vaut $δ_{r, i} δ_{j, k} δ_{s, l}$ , qui est le coefficient $(r, s)$ de $δ_{j, k} E_{i, l}$ .

9.2.3 Transposée

Définition 9.11Transposée

La transposée de $A = (a_{i, j}) \in M_{n, p} (K)$ est la matrice $A^{⊤} \in M_{p, n} (K)$ de coefficients :

$(A^{⊤})_{i, j} = a_{j, i} :$

les lignes de $A$ deviennent les colonnes de $A^{⊤}$ (symétrie par rapport à la diagonale).

Proposition 9.12Opérations sur les transposées

Sous réserve de compatibilité :

$(λ A + μ B)^{⊤} = λ A^{⊤} + μ B^{⊤}, (A^{⊤})^{⊤} = A, (A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤} :$

la transposée d'un produit est le produit des transposées dans l'ordre inverse (comme l'inverse d'un produit au chapitre 8 !).

Démonstration (Démonstration de la formule du produit)

$((A B)^{⊤})_{i, j} = (A B)_{j, i} = k \sum a_{j, k} b_{k, i} = k \sum (B^{⊤})_{i, k} (A^{⊤})_{k, j} = (B^{⊤} A^{⊤})_{i, j} .$

9.3 Opérations élémentaires et produit matriciel

Définition 9.13Opérations élémentaires (rappel du chapitre 2)

Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont : l'échange $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ , la dilatation $L_{i} \leftarrow λ L_{i}$ ( $λ \neq = 0$ ), et la transvection $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j}$ ( $i \neq = j$ ). Opérations analogues sur les colonnes.

◆Théorème 9.14Interprétation matricielle

Effectuer une opération élémentaire sur les lignes de $A$ revient à multiplier $A$ à gauche par une matrice carrée inversible ; sur les colonnes, à multiplier à droite. Précisément, l'opération sur les lignes s'obtient en multipliant à gauche par la matrice obtenue en effectuant la même opération sur $I_{n}$ :

$L_{i} \leftrightarrow L_{j} : P_{i, j} = I_{n} - E_{i, i} - E_{j, j} + E_{i, j} + E_{j, i}, L_{i} \leftarrow λ L_{i} : D_{i} (λ) = I_{n} + (λ - 1) E_{i, i},$

$L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j} : T_{i, j} (λ) = I_{n} + λ E_{i, j} .$

Ces trois matrices sont inversibles : $P_{i, j}^{- 1} = P_{i, j}$ , $D_{i} (λ)^{- 1} = D_{i} (\frac{1}{λ})$ , $T_{i, j} (λ)^{- 1} = T_{i, j} (- λ)$ — chaque opération élémentaire se défait par une opération élémentaire.

Exemple 9.15

Pour $n = 2$ : $T_{1, 2} (λ) = (10 λ 1)$ , et

$(10 λ 1) (a c b d) = (a + λ c c b + λ d d) :$

c'est bien $L_{1} \leftarrow L_{1} + λ L_{2}$ .

Exercices du chapitre

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