Calcul matriciel et systèmes linéaires

Toute matrice de ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ est combinaison linéaire de matrices élémentaires, de façon unique :

$$A=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^p{a}_{i,j}{E}_{i,j}.$$

Les $E_{i,j}$ jouent pour les matrices le rôle que jouent les chiffres pour les nombres : une « base » de décomposition (le mot prendra son sens précis au second semestre).

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right)$   mais   $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right)$ : multiplier à droite par la matrice d'échange permute les colonnes, à gauche les lignes — et le produit n'est pas commutatif !

Soit $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ de colonnes $C_1,\dots ,C_p$, et $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_p\end{array}\right)$ une matrice colonne. Alors :

$$AX=x_1{C}_1+x_2{C}_2+\cdots +x_p{C}_p:$$

$AX$ est la combinaison linéaire des colonnes de $A$ à coefficients les composantes de $X$. Ce point de vue « par colonnes » est la clé de la théorie des systèmes linéaires.

Sous réserve de compatibilité des tailles :

• Bilinéarité : $A(\lambda B+\mu C)=\lambda AB+\mu AC$ et $(\lambda A+\mu B)C=\lambda AC+\mu BC$ ;
• Associativité : $(AB)C=A(BC)$.

Pour $E_{i,j}\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $E_{k,l}\in {\mathcal{M}}_{p,q}(\mathbb{K})$ :

$$E_{i,j}{E}_{k,l}={\delta }_{j,k}{E}_{i,l}:$$

le produit est nul sauf si les indices « intérieurs » se raccordent ($j=k$), auquel cas il vaut $E_{i,l}$.

Sous réserve de compatibilité :

$$(\lambda A+\mu B{)}^{\top }=\lambda A^{\top }+\mu B^{\top },{\left(A^{\top }\right)}^{\top }=A,\boxed{(AB{)}^{\top }=B^{\top }{A}^{\top }}:$$

la transposée d'un produit est le produit des transposées dans l'ordre inverse (comme l'inverse d'un produit au chapitre 8 !).

Effectuer une opération élémentaire sur les lignes de $A$ revient à multiplier $A$ à gauche par une matrice carrée inversible ; sur les colonnes, à multiplier à droite. Précisément, l'opération sur les lignes s'obtient en multipliant à gauche par la matrice obtenue en effectuant la même opération sur $I_n$ :

$$L_i\leftrightarrow L_j:P_{i,j}=I_n-E_{i,i}-E_{j,j}+E_{i,j}+E_{j,i},L_i\leftarrow \lambda L_i:D_i(\lambda )=I_n+(\lambda -1)E_{i,i},$$

$$L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j:T_{i,j}(\lambda )=I_n+\lambda E_{i,j}.$$

Ces trois matrices sont inversibles : $P_{i,j}^{-1}=P_{i,j}$, $D_i(\lambda {)}^{-1}=D_i\left(\frac{1}{\lambda }\right)$, $T_{i,j}(\lambda {)}^{-1}=T_{i,j}(-\lambda )$ — chaque opération élémentaire se défait par une opération élémentaire.

Pour $n=2$ : $T_{1,2}(\lambda )=\left(\begin{array}{cc}1& \lambda \\ 0& 1\end{array}\right)$, et

$$\left(\begin{array}{cc}1& \lambda \\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+\lambda c& b+\lambda d\\ c& d\end{array}\right):$$

c'est bien $L_1\leftarrow L_1+\lambda L_2$.

Le système $AX=B$ est compatible si et seulement si $B$ est combinaison linéaire des colonnes de $A$.

Soit $AX=B$ un système compatible, et $X_0$ une solution particulière. Les solutions sont exactement les

$$X=X_0+Y,Y\text{ parcourant les solutions du systeˋme homogeˋne }AY=0.$$

C'est la troisième apparition de la structure « solution générale $=$ particulière $+$ homogène » : équations différentielles linéaires (chapitre 4), suites arithmético-géométriques (chapitre 5), systèmes linéaires. Le second semestre dévoilera le concept unificateur : la linéarité.

Résolvons $AX=B$ avec $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 4\\ 2& 3& 5\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ :

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 4& 1\\ 2& 3& 5& 2\end{array}\right)\underset{L_3\leftarrow L_3-2L_1}{\overset{L_2\leftarrow L_2-L_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 3& 0\\ 0& 1& 3& 0\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 3& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

Le système est compatible (pas de ligne $0=c\ne 0$), avec l'inconnue $z$ libre : $y=-3z$, puis $x=1-y-z=1+2z$. L'ensemble des solutions est

$$\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+z\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\end{array}\right):z\in \mathbb{K}\right\}:$$

une solution particulière, plus la droite des solutions du système homogène — la structure annoncée.

$\left({\mathcal{M}}_n(\mathbb{K}),+,\times \right)$ est un anneau, de neutres $0_n$ et $I_n$. Pour $n\ge 2$, cet anneau est :

• non commutatif : $E_{1,2}{E}_{2,1}=E_{1,1}\ne E_{2,2}=E_{2,1}{E}_{1,2}$ ;
• non intègre : il possède des diviseurs de zéro, par exemple $E_{1,1}{E}_{2,2}=0$ avec $E_{1,1},E_{2,2}\ne 0$, et même des éléments nilpotents non nuls : $E_{1,2}^2=0$.

Si $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ commutent ($AB=BA$), alors pour tout $m\in \mathbb{N}$ :

$$(A+B{)}^m=\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})A^k{B}^{m-k},$$

et de même $A^m-B^m=(A-B){\sum }_{k=0}^{m-1}{A}^k{B}^{m-1-k}$. (C'est le calcul dans un anneau du chapitre 8 ; l'hypothèse $AB=BA$ est indispensable.)

• Le produit de deux matrices diagonales est diagonal : $\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)\mathrm{diag}({\mu }_1,\dots ,{\mu }_n)=\mathrm{diag}({\lambda }_1{\mu }_1,\dots ,{\lambda }_n{\mu }_n)$ ; en particulier $\mathrm{diag}({\lambda }_i{)}^m=\mathrm{diag}({\lambda }_i^m)$.
• Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieur, et sa diagonale est le produit des diagonales ($a_{i,i}{b}_{i,i}$). Énoncé analogue pour les triangulaires inférieures.

Si $A,B\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})$ et $\lambda \in {\mathbb{K}}^{\ast }$ :

$$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1},{\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A,$$

$$(\lambda A{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }{A}^{-1},{\left(A^{\top }\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^{\top }.$$

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ est inversible si et seulement si $ad-bc\ne 0$, et alors :

$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right).$$

(Vérification directe : $A\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)=(ad-bc)I_2$. Si $ad-bc=0$, les colonnes de $A$ sont proportionnelles et $AX=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)$, par exemple, ne peut être compatible pour toute valeur — $A$ n'est pas inversible.) Le nombre $ad-bc$ est le déterminant, dont la théorie générale viendra plus tard.

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. Les opérations élémentaires préservent l'inversibilité (multiplier par des matrices inversibles ne la change pas), et :

$$\begin{array}{c}A\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})⟺\text{le systeˋme }AX=Y\text{ a une unique solution pour tout }Y\\ (\text{alors }X=A^{-1}Y).\end{array}$$

Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, son inverse est triangulaire de même type (supérieure ou inférieure), de diagonale $\left(\frac{1}{a_{1,1}},\dots ,\frac{1}{a_{n,n}}\right)$.

Soient $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$. Calculer $AB$, $BA$, et $(A+B{)}^2-\left(A^2+2AB+B^2\right)$. Commenter.

Soit $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\\ -1& -2\end{array}\right)$. Pour quels $B=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)$ le système $AX=B$ est-il compatible ?

Soit $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ quelconque. Montrer que $A^{\top }A$ et $A{A}^{\top }$ sont des matrices carrées symétriques.

Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$. Calculer $A^m$ pour tout $m\in \mathbb{N}$.

Montrer que $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$ est inversible et calculer $A^{-1}$.

Discuter, selon la valeur de $a\in \mathbb{R}$, la compatibilité du système :

$$\{\begin{array}{l}x+y=2\\ x-y=0\\ x+2y=a\end{array}$$

Trouver $A,B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ non nulles telles que $AB=0$ mais $BA\ne 0$. Donner aussi une matrice $N\ne 0$ vérifiant $N^2=0$, et en déduire que l'équation $M^2=0$ admet une infinité de solutions dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

Soit $F=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ et $(F_n)$ la suite de Fibonacci ($F_0=0$, $F_1=1$, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$). Montrer que pour tout $n\ge 1$ :

$$F^n=\left(\begin{array}{cc}{F}_{n+1}& F_n\\ F_n& F_{n-1}\end{array}\right).$$

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ vérifiant $A^2-3A+2I_n=0$. Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ en fonction de $A$. Application : que vaut $A^{-1}$ si $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ ?

Déterminer les matrices $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ qui commutent avec toutes les matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$.

• ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ : addition et multiplication scalaire coefficient par coefficient ; toute matrice $=\sum a_{i,j}{E}_{i,j}$ (matrices élémentaires) ; produit : $(AB{)}_{i,j}={\sum }_k{a}_{i,k}{b}_{k,j}$ (ligne $i$ $\times$ colonne $j$), bilinéaire, associatif, non commutatif ; $AX$ = combinaison linéaire des colonnes de $A$ ; $E_{i,j}{E}_{k,l}={\delta }_{j,k}{E}_{i,l}$ (Kronecker) ; transposée : $(AB{)}^{\top }=B^{\top }{A}^{\top }$.
• Opérations élémentaires = multiplication par des matrices inversibles : à gauche pour les lignes, à droite pour les colonnes ($P_{i,j}$, $D_i(\lambda )$, $T_{i,j}(\lambda )=I+\lambda E_{i,j}$).
• Systèmes : $AX=B$ compatible $⟺$ $B$ combinaison des colonnes de $A$ ; solutions $=X_0+$ solutions du système homogène (3^e avatar de « particulière + homogène ») ; pivot de Gauss sur la matrice augmentée $(A\mid B)$.
• ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ : anneau non commutatif ($n\ge 2$), avec diviseurs de zéro ($E_{1,1}{E}_{2,2}=0$) et nilpotents ($E_{1,2}$) ; $I_n$, matrices scalaires $\lambda I_n$ (= le centre) ; ${\mathcal{S}}_n$, ${\mathcal{A}}_n$ ; binôme si $AB=BA$ — méthode reine : $A=\lambda I+N$, $N$ nilpotent ; diagonales et triangulaires stables par produit (diagonales multipliées terme à terme).
• Inversibilité : ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})$ groupe linéaire ; $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$, ${\left(A^{\top }\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^{\top }$ ; cas $2\times 2$ : inversible $⟺ad-bc\ne 0$, formule $\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$ ; calcul par résolution de $AX=Y$ ou par Gauss-Jordan $(A\mid I_n)\to (I_n\mid A^{-1})$ ; triangulaire inversible $⟺$ diagonale sans zéro, et l'inverse reste triangulaire.