Exercices corrigés — Calcul matriciel et systèmes linéaires (mathématiques MPSI)

22 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

A. Opérations sur les matrices

• Colonne fois ligne : $X^{\top }Y$, $X{Y}^{\top }$, et les matrices élémentaires $E_{i,j}=e_i{e}_j^{\top }$ Exercice de TD
• Symétrique plus antisymétrique, et « un scalaire est sa propre transposée » Exercice de TD
• Transposée et symétrie Application directe du cours
• Produits et non-commutativité Application directe du cours

B. Calculs de puissances

• Marche sur un graphe : $M^k$ compte les chemins Exercice de TD
• Soit …. Montrer que R(θ)R(θ') = R(θ + θ') (formules d'addition !), en… Exercice classique
• Puissances par le binôme Application directe du cours

C. Systèmes linéaires

• Trois points, une parabole : l'interpolation comme système linéaire Exercice de TD
• Résoudre le système homogène… Application directe du cours
• Discuter selon a ∈ ℝ et résoudre… Application directe du cours
• Système avec discussion Application directe du cours
• Compatibilité et colonnes Application directe du cours

D. L'anneau ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ et les inversibles

• Les nombres complexes sont des matrices $2\times 2$, et les rotations composent les angles Exercice de TD
• Le centre de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ : tester sur les matrices élémentaires Exercice de TD
• Un polynôme annulateur donne l'inverse, et toutes les puissances Exercice de TD
• Les triangulaires : nilpotence par décalage, $I_n-N$, et le groupe des triangulaires inversibles Exercice de TD
• Un inverse d'un seul côté suffit, et $G{L}_n(\mathbb{K})$ est engendré par les opérations élémentaires Exercice de TD
• Calcul d'inverse par Gauss-Jordan Exercice classique
• Calculer l'inverse de … par la méthode de Gauss-Jordan, puis vérifier… Application directe du cours
• Diviseurs de zéro et nilpotence Application directe du cours

E. Problèmes et applications

• Problème — La matrice de Fibonacci : identité de Cassini, formule d'addition, et le PGCD de Fibonacci Exercice de TD
• Modèle météo (chaîne de Markov). S'il fait beau aujourd'hui, il fera… Application directe du cours

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