mathématiques MPSI · Chapitre 9 · Exercice de TD

Un inverse d'un seul côté suffit, et $G L_{n} (K)$ est engendré par les opérations élémentaires

Calcul matriciel et systèmes linéaires · D. L'anneau $M_{n} (K)$ et les inversibles · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $A \in M_{n} (K)$ . On rappelle (cours) que chaque opération élémentaire sur les lignes revient à multiplier à gauche par une matrice inversible — transvection $T_{i, j} (λ) = I_{n} + λ E_{i, j}$ , dilatation $D_{i} (λ)$ , échange $P_{i, j}$ — et que l'inverse de chacune est une matrice de même type.

a) On suppose qu'il existe $B \in M_{n} (K)$ telle que $B A = I_{n}$ . Montrer que le système homogène $A X = 0$ n'a que la solution $X = 0$ .

b) On suppose que $A X = 0$ n'a que la solution nulle. On applique à $A$ l'algorithme du pivot sur les lignes jusqu'à la forme échelonnée réduite $A^{'} = E_{k} \dots E_{1} A$ (chaque pivot vaut $1$ , et sa colonne est nulle ailleurs). Montrer que $A^{'}$ possède $n$ pivots, et en déduire $A^{'} = I_{n}$ .

c) En déduire que $A$ est inversible et que $A = E_{1}^{- 1} \dots E_{k}^{- 1}$ . Conclure que toute matrice inversible est un produit de matrices d'opérations élémentaires.

d) Conclure : si $B A = I_{n}$ , alors $A \in GL_{n} (K)$ et $B = A^{- 1}$ . Montrer de même que $A B = I_{n}$ entraîne $B = A^{- 1}$ .

e) Au TD 1, un inverse à gauche d'une application ne suffisait pas à en faire une bijection. Pourquoi suffit-il ici ? Où la finitude est-elle intervenue ?

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'interprétation matricielle des opérations élémentaires, le fait qu'elles préservent l'ensemble des solutions d'un système homogène (on multiplie par des matrices inversibles), la lecture des inconnues libres sur une forme échelonnée, et l'associativité. La stratégie : « $A X = 0$ n'a que la solution nulle » se traduit, par le pivot, en « $A$ se réduit à $I_{n}$ », ce qui écrit $A$ comme produit d'inversibles.

a) Le système homogène. Si $A X = 0$ , alors en multipliant à gauche par $B$ : $X = I_{n} X = (B A) X = B (A X) = B \cdot 0 = 0$ . La seule solution est $X = 0$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour le b), je sais que $A^{'} X = 0$ a les mêmes solutions que $A X = 0$ . Mais pourquoi l'absence de solution non nulle forcerait-elle $n$ pivots ? Une ligne nulle en bas de $A^{'}$ ne me semble pas contradictoire en soi.

Raisonne sur les colonnes plutôt que sur les lignes. Si une colonne $j$ de $A^{'}$ ne porte pas de pivot, quel rôle joue l'inconnue $x_{j}$ dans la résolution du système échelonné ?

Élève

C'est une inconnue libre : je peux lui donner une valeur arbitraire, puis calculer les inconnues principales grâce aux lignes de pivots.

Exactement. Quelles valeurs choisir pour les inconnues libres afin d'aboutir à une contradiction ? Et une fois les $n$ pivots obtenus, comment la forme échelonnée réduite d'une matrice carrée est-elle entièrement déterminée ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Un inverse d'un seul côté suffit, et GLn​(K) est engendré par les opérations élémentaires

Énoncé

Corrigé de la question 1

Question 2 : comment l'IA t'aide

Un inverse d'un seul côté suffit, et $G L_{n} (K)$ est engendré par les opérations élémentaires