Soit …. Montrer que R(θ)R(θ') = R(θ + θ') (formules d'addition !), en…

Stratégie : reconnaître dans le produit matriciel les formules d'addition de la trigonométrie.

a) Le produit. Calculons coefficient par coefficient : $$R(\theta )R({\theta }^{\prime })=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta \cos {\theta }^{\prime }-\sin \theta \sin {\theta }^{\prime }& -\cos \theta \sin {\theta }^{\prime }-\sin \theta \cos {\theta }^{\prime }\\ \sin \theta \cos {\theta }^{\prime }+\cos \theta \sin {\theta }^{\prime }& -\sin \theta \sin {\theta }^{\prime }+\cos \theta \cos {\theta }^{\prime }\end{array}\right)$$ Les formules d'addition $\cos (\theta +{\theta }^{\prime })=\cos \theta \cos {\theta }^{\prime }-\sin \theta \sin {\theta }^{\prime }$ et $\sin (\theta +{\theta }^{\prime })=\sin \theta \cos {\theta }^{\prime }+\cos \theta \sin {\theta }^{\prime }$ donnent exactement $$R(\theta )R({\theta }^{\prime })=R(\theta +{\theta }^{\prime })$$

b) Les puissances, par récurrence. $R(\theta {)}^1=R(\theta )$ ; et si $R(\theta {)}^m=R(m\theta )$, alors $$R(\theta {)}^{m+1}=R(m\theta )R(\theta )=R((m+1)\theta )$$ Donc $R(\theta {)}^m=R(m\theta )$ pour tout $m\in \mathbb{N}$.

c) L'inverse. $R(\theta )R(-\theta )=R(0)=I_2$, et de même dans l'autre ordre : $R(\theta )$ est inversible, d'inverse $$R(\theta {)}^{-1}=R(-\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)=R(\theta {)}^{\top }$$ la dernière égalité parce que $\cos (-\theta )=\cos \theta$ et $\sin (-\theta )=-\sin \theta$.

⚠️ Le point délicat : l'égalité $R(\theta {)}^{-1}=R(\theta {)}^{\top }$ n'est pas une coïncidence de calcul. Elle dit que $R(\theta )$ est orthogonale, et c'est la traduction matricielle du fait qu'une rotation conserve les longueurs. On prendra garde qu'elle est fausse pour une matrice quelconque : l'inverse n'est jamais la transposée « en général ».

Contrôle numérique. Vérification symbolique de $R(\theta )R({\theta }^{\prime })=R(\theta +{\theta }^{\prime })$, de $R(\theta {)}^{-1}=R(-\theta )=R(\theta {)}^{\top }$ et de $\det R(\theta )=1$ ; puis $R(\theta {)}^m=R(m\theta )$ contrôlé symboliquement jusqu'à $m=6$ et numériquement jusqu'à $m=12$ pour $\theta =0,3$, $1,7$ et $-2,4$ (écart inférieur à $10^{-12}$).

Ce que l'exercice installe. L'application $\theta \mapsto R(\theta )$ est un morphisme de groupes de $(\mathbb{R},+)$ dans ${\mathrm{GL}}_2(\mathbb{R})$, de noyau $2\pi \mathbb{Z}$ : composer deux rotations, c'est ajouter leurs angles. C'est le même énoncé que $e^{i\theta }{e}^{i{\theta }^{\prime }}=e^{i(\theta +{\theta }^{\prime })}$ du chapitre 3 — et l'exercice sur $\mathbb{C}$ vu comme matrices $2\times 2$ le rendra littéral.