Discuter selon a ∈ ℝ et résoudre…

Stratégie : discussion par le pivot, en surveillant les divisions. Le système s'écrit $A X = B$ avec $A = 11 a 1 a 1 a 11, B = 111$

a) Où sont les cas particuliers ? On échelonne : $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - a L_{1}$ donnent $⎩ ⎨ ⎧ x + y + a z = 1 (a - 1) y + (1 - a) z = 0 (1 - a) y + (1 - a^{2}) z = 1 - a$ Les lignes $2$ et $3$ sont proportionnelles à $(a - 1)$ : le pivot suivant s'annule pour $a = 1$ . En ajoutant $L_{3} \leftarrow L_{3} + L_{2}$ (licite, sans division), le coefficient de $z$ devient $(1 - a) + (1 - a^{2}) = (1 - a) (2 + a)$ , qui s'annule aussi pour $a = - 2$ . Le déterminant confirme les deux valeurs critiques : $det A = - (a - 1)^{2} (a + 2)$

b) Cas général : $a \neq = 1$ et $a \neq = - 2$ . Le système est de Cramer, la solution est unique. La symétrie du système (il est invariant par permutation circulaire de $x, y, z$ ) suggère $x = y = z$ , et la première équation donne alors $x (2 + a) = 1$ : $x = y = z = \frac{1}{a + 2}$

c) Cas $a = 1$ . Les trois équations deviennent la même : $x + y + z = 1$ . La matrice est de rang $1$ , l'ensemble des solutions est un plan : ${(x, y, 1 - x - y) : (x, y) \in R^{2}}$

d) Cas $a = - 2$ . Le système devient $x + y - 2 z = 1$ , $x - 2 y + z = 1$ , $- 2 x + y + z = 1$ . La somme des trois membres de gauche est nulle ( $L_{1} + L_{2} + L_{3} = 0$ ), alors que la somme des seconds membres vaut $3$ : $0 = 3$ Le système est incompatible : aucune solution.

⚠️ Le point délicat : on ne divise jamais par un pivot sans avoir discuté son annulation. Écrire $x = \frac{1}{a + 2}$ sans réserve, c'est passer sous silence exactement les deux cas intéressants. Et les deux racines du déterminant ne se comportent pas de la même façon : en $a = 1$ le système reste compatible (une infinité de solutions), en $a = - 2$ il ne l'est plus (aucune). Déterminant nul ne signifie pas « pas de solution », mais « pas d'unicité ».

Contrôle numérique. $det A = - (a - 1)^{2} (a + 2)$ (factorisation vérifiée symboliquement) ; la résolution formelle rend $x = y = z = 1/ (a + 2)$ ; pour $a = 1$ la matrice est de rang $1$ ; pour $a = - 2$ elle est de rang $2$ tandis que la matrice augmentée est de rang $3$ — signature exacte de l'incompatibilité —, et l'on vérifie $L_{1} + L_{2} + L_{3} = (0, 0, 0)$ .

Ce que l'exercice installe. Trois régimes pour un même système selon un paramètre : solution unique, infinité, aucune. Le rang de $A$ et celui de la matrice augmentée $(A ∣ B)$ suffisent à trancher — c'est le théorème de Rouché-Fontené, et le fil directeur de tout le chapitre 13.

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