mathématiques MPSI · Chapitre 9 · Application directe du cours

Puissances par le binôme

Calcul matriciel et systèmes linéaires · B. Calculs de puissances · niveau 2

Énoncé

Soit $A = 100110011$ . Calculer $A^{m}$ pour tout $m \in N$ .

Corrigé

Écrivons $A = I_{3} + N$ avec $N$ strictement triangulaire : $N^{3} = 0$ — nilpotente. Comme $I_{3}$ et $N$ commutent, le binôme s'applique et s'arrête au rang $2$ : $A^{m} = I_{3} + m N + (2 m) N^{2} = 100 m 10 \frac{m ( m - 1 )}{2} m 1 .$ (La formule vaut même pour $m \in Z$ , avec $A^{- 1}$ donnée par $m = - 1$ .)

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