Calcul d'inverse par Gauss-Jordan

Exercice classique · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 9 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · D. L'anneau $M_{n} (K)$ et les inversibles

Énoncé

Montrer que $A = 111122123$ est inversible et calculer $A^{- 1}$ .

Corrigé

On applique Gauss-Jordan à $(A ∣ I_{3})$ : descente ( $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ , $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ , puis $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}$ ) donne une triangulaire à diagonale non nulle : $A$ est inversible. La remontée achève la réduction et livre : $A^{- 1} = 2 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 1 .$ (Vérification rapide : la première ligne de $A \times A^{- 1}$ vaut $(1, 0, 0)$ .)

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