Modèle météo (chaîne de Markov). S'il fait beau aujourd'hui, il fera…

Stratégie : mettre le modèle en matrice, puis reconnaître une suite arithmético-géométrique. On note $p_n$ la probabilité qu'il fasse beau le jour $n$ ; l'état du jour $n$ est la colonne $X_n=\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ 1-p_n\end{array}\right)$.

a) L'écriture matricielle. Le jour $n+1$ est beau soit parce que le jour $n$ l'était et que le beau temps s'est maintenu (probabilité $0,9$), soit parce qu'il pleuvait et que le temps s'est amélioré (probabilité $0,5$). La formule des probabilités totales donne $$p_{n+1}=0,9p_n+0,5(1-p_n)$$ et, symétriquement, $1-p_{n+1}=0,1p_n+0,5(1-p_n)$. Les deux relations se résument en $$X_{n+1}=P{X}_n,P=\left(\begin{array}{cc}0,9& 0,5\\ 0,1& 0,5\end{array}\right)$$

b) La récurrence scalaire. En développant la première ligne : $$p_{n+1}=0,9p_n+0,5-0,5p_n=0,4p_n+0,5$$ C'est une suite arithmético-géométrique $u_{n+1}=q{u}_n+r$ avec $q=0,4$ et $r=0,5$.

c) La limite. Le point fixe $\ell$ vérifie $\ell =0,4\ell +0,5$, soit $0,6\ell =0,5$ et $$\ell =\frac{0,5}{0,6}=\frac{5}{6}$$ En posant $v_n=p_n-\ell$ : $v_{n+1}=0,4v_n$, donc $v_n=0,4^n{v}_0$. Comme $|0,4|<1$, $$p_n=\frac{5}{6}+\left(p_0-\frac{5}{6}\right)0,4^n\underset{n\to +\infty }{\to }\frac{5}{6}$$

⚠️ Le point délicat : la limite ne dépend pas de $p_0$. C'est parce que $|q|=0,4<1$ ; si l'on avait $q=1$ (une matrice qui ne mélange rien, par exemple $P=I_2$), la suite serait constante et la « mémoire » du jour initial ne s'effacerait jamais. Vérifier $|q|<1$ n'est pas une formalité : c'est ce qui autorise à parler de régime stationnaire.

Contrôle numérique. Les colonnes de $P$ sont de somme $1$ (matrice stochastique), et $p_{n+1}+(1-p_{n+1})=1$ se conserve. En arithmétique exacte sur les fractions, l'itération $p\mapsto \frac{2}{5}p+\frac{1}{2}$ lancée de $p_0=0$ et de $p_0=1$ atteint $\frac{5}{6}$ à moins de $10^{-60}$ près en $200$ pas ; et $P^{500}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ a bien $\frac{5}{6}$ pour première coordonnée. Interprétation : il fait beau $5$ jours sur $6$ à long terme.

Ce que l'exercice installe. Un modèle probabiliste devient une itération matricielle $X_n=P^n{X}_0$, et son comportement à long terme se lit sur les puissances de $P$. C'est la première chaîne de Markov du cours ; la colonne limite $\left(\begin{array}{c}5/6\\ 1/6\end{array}\right)$ est un vecteur propre de $P$ pour la valeur propre $1$ — le vocabulaire viendra en seconde année.