mathématiques MPSI · Chapitre 9 · Exercice de TD

Colonne fois ligne : $X^{⊤} Y$ , $X Y^{⊤}$ , et les matrices élémentaires $E_{i, j} = e_{i} e_{j}^{⊤}$

Calcul matriciel et systèmes linéaires · A. Opérations sur les matrices · niveau 2

Énoncé

Dans tout l'exercice, $X, Y, Z, W$ désignent des matrices colonnes de $M_{n, 1} (K)$ , et $e_{1}, \dots, e_{n}$ les colonnes de la matrice identité $I_{n}$ ( $e_{j}$ a un $1$ en ligne $j$ et des $0$ ailleurs).

a) Quelles sont les tailles de $X^{⊤} Y$ et de $X Y^{⊤}$ ? Que représentent-ils ? Calculer les deux pour $X = (12)$ et $Y = (3 - 1)$ .

b) Montrer que $(X Y^{⊤}) (Z W^{⊤}) = (Y^{⊤} Z) X W^{⊤}$ .

c) Montrer que $E_{i, j} = e_{i} e_{j}^{⊤}$ . Retrouver ainsi $E_{i, j} E_{k, l} = δ_{j, k} E_{i, l}$ , puis vérifier que, pour $A \in M_{n} (K)$ , $A e_{j}$ est la $j$ -ième colonne de $A$ et $e_{i}^{⊤} A e_{j} = a_{i, j}$ .

d) Soit $P = X Y^{⊤}$ . Montrer que $P^{2} = (Y^{⊤} X) P$ . Que dire de $P$ si $Y^{⊤} X = 1$ ? si $Y^{⊤} X = 0$ ? Donner un exemple de chaque en taille $2$ .

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La règle des tailles (le produit d'une matrice $(n, p)$ par une matrice $(p, q)$ est une matrice $(n, q)$ ), la définition du produit, son associativité, la transposée d'un produit, et le fait qu'une matrice $1 \times 1$ s'identifie à un scalaire, qui commute alors avec tout. La stratégie : lire le produit par blocs, en regroupant les facteurs par l'associativité.

a) Deux produits, deux objets. $X^{⊤}$ est une matrice ligne $(1, n)$ et $Y$ une colonne $(n, 1)$ : le produit $X^{⊤} Y$ est de taille $(1, 1)$ , un scalaire, égal à $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}$ . Dans l'autre ordre, $X$ est $(n, 1)$ et $Y^{⊤}$ est $(1, n)$ : $X Y^{⊤}$ est une matrice carrée $(n, n)$ , de coefficient général $(X Y^{⊤})_{i, j} = x_{i} y_{j}$ — la somme définissant le produit n'a qu'un terme. Sur l'exemple : $X^{⊤} Y = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (- 1) = 1$ , et $X Y^{⊤} = (1 \cdot 3 2 \cdot 3 1 \cdot (- 1) 2 \cdot (- 1)) = (36 - 1 - 2) .$ Les mêmes deux colonnes donnent, selon l'ordre, un nombre ou une matrice dont toutes les colonnes sont proportionnelles à $X$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Montrer que $(X Y^{⊤}) (Z W^{⊤}) = (Y^{⊤} Z) X W^{⊤}$ .

Élève

Pour le b), j'ai voulu comparer les coefficients : $(X Y^{⊤})_{i, k} = x_{i} y_{k}$ , puis la somme sur $k$ … je me perds dans les indices. Y a-t-il une façon plus structurelle de faire ?

Oui : n'utilise que l'associativité et regarde la taille du facteur central. Comment regrouper les quatre facteurs, et de quelle taille est alors le produit du milieu ?

Élève

Je peux écrire $X (Y^{⊤} Z) W^{⊤}$ , où $Y^{⊤} Z$ est de taille $1 \times 1$ . Mais je ne peux pas le faire passer devant $X$ : le produit matriciel n'est pas commutatif.

Une matrice $1 \times 1$ n'est pas formellement un scalaire. Que vaut le produit d'une colonne $X$ par une matrice $(λ)$ de taille $1 \times 1$ , coefficient par coefficient, et que peux-tu en conclure sur la place de ce facteur ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →

Colonne fois ligne : X⊤Y, XY⊤, et les matrices élémentaires Ei,j​=ei​ej⊤​

Énoncé

Corrigé de la question 1

Question 2 : comment l'IA t'aide

Colonne fois ligne : $X^{⊤} Y$ , $X Y^{⊤}$ , et les matrices élémentaires $E_{i, j} = e_{i} e_{j}^{⊤}$