Colonne fois ligne : $X^{⊤} Y$ , $X Y^{⊤}$ , et les matrices élémentaires $E_{i, j} = e_{i} e_{j}^{⊤}$

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 9 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · A. Opérations sur les matrices

Énoncé

Dans tout l'exercice, $X, Y, Z, W$ désignent des matrices colonnes de $M_{n, 1} (K)$ , et $e_{1}, \dots, e_{n}$ les colonnes de la matrice identité $I_{n}$ ( $e_{j}$ a un $1$ en ligne $j$ et des $0$ ailleurs).

a) Quelles sont les tailles de $X^{⊤} Y$ et de $X Y^{⊤}$ ? Que représentent-ils ? Calculer les deux pour $X = (12)$ et $Y = (3 - 1)$ .

b) Montrer que $(X Y^{⊤}) (Z W^{⊤}) = (Y^{⊤} Z) X W^{⊤}$ .

c) Montrer que $E_{i, j} = e_{i} e_{j}^{⊤}$ . Retrouver ainsi $E_{i, j} E_{k, l} = δ_{j, k} E_{i, l}$ , puis vérifier que, pour $A \in M_{n} (K)$ , $A e_{j}$ est la $j$ -ième colonne de $A$ et $e_{i}^{⊤} A e_{j} = a_{i, j}$ .

d) Soit $P = X Y^{⊤}$ . Montrer que $P^{2} = (Y^{⊤} X) P$ . Que dire de $P$ si $Y^{⊤} X = 1$ ? si $Y^{⊤} X = 0$ ? Donner un exemple de chaque en taille $2$ .

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La règle des tailles (le produit d'une matrice $(n, p)$ par une matrice $(p, q)$ est une matrice $(n, q)$ ), la définition du produit, son associativité, la transposée d'un produit, et le fait qu'une matrice $1 \times 1$ s'identifie à un scalaire, qui commute alors avec tout. La stratégie : lire le produit par blocs, en regroupant les facteurs par l'associativité.

a) Deux produits, deux objets. $X^{⊤}$ est une matrice ligne $(1, n)$ et $Y$ une colonne $(n, 1)$ : le produit $X^{⊤} Y$ est de taille $(1, 1)$ , un scalaire, égal à $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}$ . Dans l'autre ordre, $X$ est $(n, 1)$ et $Y^{⊤}$ est $(1, n)$ : $X Y^{⊤}$ est une matrice carrée $(n, n)$ , de coefficient général $(X Y^{⊤})_{i, j} = x_{i} y_{j}$ — la somme définissant le produit n'a qu'un terme. Sur l'exemple : $X^{⊤} Y = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (- 1) = 1$ , et $X Y^{⊤} = (1 \cdot 3 2 \cdot 3 1 \cdot (- 1) 2 \cdot (- 1)) = (36 - 1 - 2) .$ Les mêmes deux colonnes donnent, selon l'ordre, un nombre ou une matrice dont toutes les colonnes sont proportionnelles à $X$ .

b) Le regroupement. Par associativité, $(X Y^{⊤}) (Z W^{⊤}) = X (Y^{⊤} Z) W^{⊤}$ . Or $Y^{⊤} Z$ est une matrice $1 \times 1$ , un scalaire, qui commute avec tout et peut être sorti devant : $X (Y^{⊤} Z) W^{⊤} = (Y^{⊤} Z) X W^{⊤}$ . C'est la formule demandée, et elle contient tout l'exercice : le produit de deux matrices « colonne fois ligne » est encore une matrice « colonne fois ligne », multipliée par le produit scalaire des deux facteurs intérieurs.

c) Les matrices élémentaires. Le coefficient $(r, s)$ de $e_{i} e_{j}^{⊤}$ vaut $(e_{i})_{r} (e_{j})_{s} = δ_{r, i} δ_{s, j}$ : il vaut $1$ si $r = i$ et $s = j$ , $0$ sinon. C'est exactement $E_{i, j}$ . Alors, par le b) : $E_{i, j} E_{k, l} = (e_{i} e_{j}^{⊤}) (e_{k} e_{l}^{⊤}) = (e_{j}^{⊤} e_{k}) e_{i} e_{l}^{⊤} = δ_{j, k} E_{i, l},$ puisque $e_{j}^{⊤} e_{k} = \sum_{r} (e_{j})_{r} (e_{k})_{r} = δ_{j, k}$ . La proposition du cours est retrouvée en une ligne. Ensuite, $A e_{j} = \sum_{k} (e_{j})_{k} C_{k} = C_{j}$ par la proposition « $A X$ est combinaison des colonnes de $A$ à coefficients les composantes de $X$ » : $A e_{j}$ est la $j$ -ième colonne de $A$ . Et $e_{i}^{⊤} A e_{j} = e_{i}^{⊤} C_{j} = \sum_{r} (e_{i})_{r} (C_{j})_{r} = (C_{j})_{i} = a_{i, j}$ : encadrer $A$ par $e_{i}^{⊤}$ et $e_{j}$ extrait le coefficient $a_{i, j}$ .

d) Projecteurs et nilpotents de rang un. Par le b) avec $Z = X$ et $W = Y$ : $P^{2} = (X Y^{⊤}) (X Y^{⊤}) = (Y^{⊤} X) X Y^{⊤} = (Y^{⊤} X) P$ . Si $Y^{⊤} X = 1$ , alors $P^{2} = P$ : $P$ est un projecteur (une matrice égale à son carré). Si $Y^{⊤} X = 0$ , alors $P^{2} = 0$ : $P$ est nilpotente, et non nulle dès que $X$ et $Y$ sont non nulles. Exemples en taille $2$ : avec $X = (10)$ et $Y = (11)$ , $Y^{⊤} X = 1$ et $P = (1010)$ , dont on vérifie $P^{2} = (1010) = P$ ; avec $X = (10)$ et $Y = (01)$ , $Y^{⊤} X = 0$ et $P = (0010) = E_{1, 2}$ , dont le carré est nul.

Le point délicat. On ne « sort » un facteur d'un produit que s'il est un scalaire. C'est le regroupement $Y^{⊤} Z$ — et non $Z W^{⊤}$ ou $X Y^{⊤}$ — qui produit une matrice $1 \times 1$ . Regrouper dans l'autre sens ne simplifie rien : $X Y^{⊤}$ est une matrice $n \times n$ qui ne commute avec personne en général.

Ce que l'exercice installe. Le produit se lit par blocs, et le bloc le plus simple est « colonne fois ligne » : une matrice $X Y^{⊤}$ , dont toutes les colonnes sont proportionnelles à $X$ , est ce que le chapitre 13 appellera une matrice de rang un. Les matrices élémentaires en sont le cas particulier, et leur règle de produit $E_{i, j} E_{k, l} = δ_{j, k} E_{i, l}$ — les indices intérieurs doivent se raccorder — est la seule chose à retenir pour calculer avec elles, comme on le fera à l'exercice 6.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.

Colonne fois ligne : X⊤Y, XY⊤, et les matrices élémentaires Ei,j​=ei​ej⊤​

Énoncé

Corrigé

Colonne fois ligne : $X^{⊤} Y$ , $X Y^{⊤}$ , et les matrices élémentaires $E_{i, j} = e_{i} e_{j}^{⊤}$