Symétrique plus antisymétrique, et « un scalaire est sa propre transposée »

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 9 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · A. Opérations sur les matrices

Énoncé

On note $S_{n} (K)$ et $A_{n} (K)$ les ensembles des matrices symétriques et antisymétriques de $M_{n} (K)$ .

a) Montrer que toute matrice $A \in M_{n} (K)$ s'écrit de façon unique $A = S + T$ avec $S$ symétrique et $T$ antisymétrique.

b) Soient $A, B$ symétriques. Montrer que $A B$ est symétrique si et seulement si $A B = B A$ .

c) Soit $A \in A_{n} (R)$ et $X \in M_{n, 1} (R)$ . Montrer que $X^{⊤} A X = 0$ .

d) En déduire que pour $A \in M_{n} (R)$ quelconque et toute colonne $X$ , $X^{⊤} A X = X^{⊤} S X$ , où $S = \frac{A + A ^{⊤}}{2}$ .

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les opérations sur les transposées : linéarité, $(A^{⊤})^{⊤} = A$ , et $(A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤}$ . La stratégie du a) est une analyse-synthèse : on suppose la décomposition trouvée, on en déduit ses deux morceaux, puis on vérifie qu'ils conviennent.

a) La décomposition. Analyse. Supposons $A = S + T$ avec $S^{⊤} = S$ et $T^{⊤} = - T$ . En transposant : $A^{⊤} = S^{⊤} + T^{⊤} = S - T$ . En ajoutant et en retranchant les deux égalités $A = S + T$ et $A^{⊤} = S - T$ : $S = \frac{A + A ^{⊤}}{2}, T = \frac{A - A ^{⊤}}{2} .$ Les deux morceaux sont imposés : s'il y a une décomposition, il n'y en a qu'une. Synthèse. Posons $S$ et $T$ par ces formules. Alors $S + T = A$ , et par linéarité de la transposition, $S^{⊤} = \frac{A ^{⊤} + A}{2} = S$ , $T^{⊤} = \frac{A ^{⊤} - A}{2} = - T$ . La décomposition existe et est unique. On peut le dire autrement : si $B$ est à la fois symétrique et antisymétrique, alors $B = B^{⊤} = - B$ , donc $2 B = 0$ et $B = 0$ ; c'est ce qui rend les deux morceaux uniques.

Le point délicat. Tout repose sur la division par $2$ , licite dans $R$ et dans $C$ . C'est aussi ce qui fait l'unicité : $S - S^{'} = T^{'} - T$ serait à la fois symétrique et antisymétrique, donc nulle.

b) Produit de deux symétriques. On a $(A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤} = B A$ , puisque $A$ et $B$ sont symétriques. Donc $A B$ est symétrique si et seulement si $(A B)^{⊤} = A B$ , c'est-à-dire si et seulement si $B A = A B$ . Ainsi $S_{n} (K)$ n'est pas stable par produit : avec $A = E_{1, 2} + E_{2, 1}$ et $B = E_{1, 1}$ , toutes deux symétriques, $A B = E_{2, 1}$ n'est pas symétrique.

c) Une forme antisymétrique s'annule. Posons $s = X^{⊤} A X$ . C'est une matrice $(1, n) \times (n, n) \times (n, 1)$ , donc $1 \times 1$ : un réel. Une matrice $1 \times 1$ est égale à sa transposée. Or, par la règle de transposition d'un produit appliquée deux fois, $s^{⊤} = X^{⊤} A^{⊤} (X^{⊤})^{⊤} = X^{⊤} A^{⊤} X = X^{⊤} (- A) X = - s$ . Donc $s = - s$ , soit $2 s = 0$ : $X^{⊤} A X = 0$ .

d) Seule la partie symétrique compte. Écrivons $A = S + T$ comme au a). Par bilinéarité du produit, $X^{⊤} A X = X^{⊤} S X + X^{⊤} T X$ , et le second terme est nul par le c). Donc $X^{⊤} A X = X^{⊤} S X$ . La quantité $X^{⊤} A X = \sum_{i, j} a_{i, j} x_{i} x_{j}$ ne voit que la moyenne $\frac{a _{i, j} + a _{j, i}}{2}$ des coefficients symétriques : deux matrices de même partie symétrique définissent la même expression quadratique.

Ce que l'exercice installe. C'est la première somme directe de l'année : $M_{n} (K)$ se coupe en deux morceaux, $S_{n}$ et $A_{n}$ , dont l'intersection est nulle et dont la somme est tout — le chapitre 12 dira « supplémentaires », et l'on en tirera les dimensions $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ et $\frac{n ( n - 1 )}{2}$ . Et l'argument « une matrice $1 \times 1$ est sa propre transposée » est le geste qui fait passer d'une identité matricielle à une identité scalaire ; il reviendra au chapitre 15, où $X^{⊤} S X$ deviendra une forme quadratique.

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