Les nombres complexes sont des matrices $2\times 2$, et les rotations composent les angles

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les définitions du chapitre 8 : sous-anneau ($1\in B$, stable par différence et par produit), morphisme et isomorphisme d'anneaux ; le produit des complexes $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$ ; les formules d'addition de $\cos$ et $\sin$ et la relation $e^{i\theta }{e}^{i{\theta }^{\prime }}=e^{i(\theta +{\theta }^{\prime })}$ (chapitre 3). La stratégie : tout repose sur $J^2=-I_2$, qui est la règle $i^2=-1$ écrite en matrices.

a) Le sous-anneau. $J^2=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=-I_2$. Ensuite : $I_2=M(1,0)\in \mathcal{C}$ ; $M(a,b)-M(c,d)=M(a-c,b-d)\in \mathcal{C}$ ; et pour le produit, en développant avec $J^2=-I_2$ (tout commute avec $I_2$) : $$M(a,b)M(c,d)=(a{I}_2+bJ)(c{I}_2+dJ)=ac{I}_2+(ad+bc)J+bd{J}^2=(ac-bd)I_2+(ad+bc)J=M(ac-bd,ad+bc).$$ Le produit reste dans $\mathcal{C}$ : $\mathcal{C}$ est un sous-anneau de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Il est commutatif, parce que l'expression $(ac-bd,ad+bc)$ est symétrique en les deux couples $(a,b)$ et $(c,d)$ — alors que ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ tout entier ne l'est pas.

b) L'isomorphisme. Bijectivité : l'écriture $a+ib$ d'un complexe est unique, et $M(a,b)$ détermine $(a,b)$ (première colonne) : $\phi$ est une bijection de $\mathbb{C}$ sur $\mathcal{C}$. Morphisme d'anneaux : $\phi (1)=M(1,0)=I_2$ ; $\phi (z+z^{\prime })=\phi (z)+\phi (z^{\prime })$ coordonnée par coordonnée ; et $\phi (z{z}^{\prime })=\phi (z)\phi (z^{\prime })$ est exactement le calcul du a), puisque $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$. $\phi$ est un isomorphisme d'anneaux de $\mathbb{C}$ sur $\mathcal{C}$. L'inverse. $M(a,b)M(a,-b)=M(a^2+b^2,-ab+ab)=(a^2+b^2)I_2$, donc pour $(a,b)\ne (0,0)$, $$M(a,b{)}^{-1}=\frac{1}{a^2+b^2}M(a,-b)=\frac{1}{a^2+b^2}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right),$$ ce qui est le transport de $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$ : la conjugaison devient la transposition, et le module au carré $a^2+b^2$ est le nombre $ad-bc$ du cours pour la matrice $M(a,b)$. Ainsi $\mathcal{C}$ est un corps, comme $\mathbb{C}$.

Le point délicat. Ce n'est pas une analogie : c'est une construction possible de $\mathbb{C}$, sans jamais postuler l'existence d'un nombre de carré $-1$. On prend l'anneau $\mathcal{C}$, dont on vérifie tout à la main, et l'on y trouve une matrice $J$ dont le carré est $-I_2$.

c) Les rotations. Le produit. Calculons coefficient par coefficient : $$R(\theta )R({\theta }^{\prime })=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta \cos {\theta }^{\prime }-\sin \theta \sin {\theta }^{\prime }& -(\cos \theta \sin {\theta }^{\prime }+\sin \theta \cos {\theta }^{\prime })\\ \sin \theta \cos {\theta }^{\prime }+\cos \theta \sin {\theta }^{\prime }& \cos \theta \cos {\theta }^{\prime }-\sin \theta \sin {\theta }^{\prime }\end{array}\right)=R(\theta +{\theta }^{\prime }),$$ par les formules d'addition $\cos (\theta +{\theta }^{\prime })=\cos \theta \cos {\theta }^{\prime }-\sin \theta \sin {\theta }^{\prime }$ et $\sin (\theta +{\theta }^{\prime })=\sin \theta \cos {\theta }^{\prime }+\cos \theta \sin {\theta }^{\prime }$. Le lien. Par $\phi$, $R(\theta )=\phi (\cos \theta +i\sin \theta )=\phi (e^{i\theta })$, et comme $\phi$ est un morphisme, $R(\theta )R({\theta }^{\prime })=\phi (e^{i\theta }{e}^{i{\theta }^{\prime }})=\phi (e^{i(\theta +{\theta }^{\prime })})=R(\theta +{\theta }^{\prime })$ : l'identité matricielle et l'identité $e^{i\theta }{e}^{i{\theta }^{\prime }}=e^{i(\theta +{\theta }^{\prime })}$ sont le même énoncé, et les deux disent les formules d'addition.

Les puissances. Par récurrence : $R(\theta {)}^1=R(\theta )$, et si $R(\theta {)}^m=R(m\theta )$, alors $R(\theta {)}^{m+1}=R(m\theta )R(\theta )=R((m+1)\theta )$. Donc $R(\theta {)}^m=R(m\theta )$ pour tout $m\in \mathbb{N}$ — c'est la formule de Moivre, $(e^{i\theta }{)}^m=e^{im\theta }$, transportée. L'inverse. $R(\theta )R(-\theta )=R(0)=I_2$, et de même dans l'autre ordre : $R(\theta )$ est inversible, d'inverse $$R(\theta {)}^{-1}=R(-\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)=R(\theta {)}^{\top },$$ la dernière égalité par parité de $\cos$ et imparité de $\sin$. On prendra garde que « l'inverse est la transposée » est faux pour une matrice quelconque : c'est ici la traduction du fait qu'une rotation conserve les longueurs, et $\theta \mapsto R(\theta )$ est un morphisme de groupes de $(\mathbb{R},+)$ dans ${\mathrm{GL}}_2(\mathbb{R})$, de noyau $2\pi \mathbb{Z}$.

Ce que l'exercice installe. Un anneau abstrait du chapitre 8 rendu concret : $\mathbb{C}$ est un sous-anneau commutatif de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, et un même objet admet plusieurs incarnations — nombre, couple, matrice. Le lien $\phi (e^{i\theta })=R(\theta )$ explique d'un coup pourquoi les formules d'addition, la loi de produit des complexes et la composition des rotations sont une seule et même chose ; le chapitre 13 en fera la matrice d'une similitude.