Trois points, une parabole : l'interpolation comme système linéaire

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'écriture matricielle d'un système, le théorème « $A$ est inversible si et seulement si $AX=Y$ a une unique solution pour tout $Y$ », le fait qu'un trinôme du second degré non nul a au plus deux racines (chapitre 3). La stratégie : l'inconnue n'est pas un point de la parabole mais le triplet de ses coefficients, et chaque point imposé fournit une équation linéaire en $(a,b,c)$.

a) Le système. Écrire que la courbe passe par $(0,1)$, $(1,0)$, $(2,3)$, c'est écrire $c=1$, $a+b+c=0$ et $4a+2b+c=3$. La première donne $c=1$ ; il reste $a+b=-1$ et $4a+2b=2$, soit $2a+b=1$ ; en soustrayant, $a=2$, puis $b=-3$. La parabole est $y=2x^2-3x+1$. Contrôle : $f(0)=1$, $f(1)=2-3+1=0$, $f(2)=8-6+1=3$.

b) La matrice, et l'unicité sans calcul. Le système s'écrit $$VX=Y,V=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 1& 1\\ 4& 2& 1\end{array}\right),Y=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right):$$ la ligne $i$ de $V$ est $(x_i^2,x_i,1)$ pour l'abscisse $x_i$. Le système homogène. $VX=0$ signifie que le trinôme $a{x}^2+bx+c$ s'annule en $0$, en $1$ et en $2$ : trois racines distinctes. Si $a\ne 0$, un trinôme du second degré a au plus deux racines ; donc $a=0$, et $bx+c$ s'annule en deux points distincts, ce qui force $b=0$ puis $c=0$. Le système homogène n'a que la solution nulle, et l'on n'a posé aucune division. Conséquence : si $X$ et $X^{\prime }$ sont deux solutions de $VX=Y$, alors $V(X-X^{\prime })=0$, donc $X=X^{\prime }$ — l'unicité de la parabole est acquise pour tout $Y$.

L'existence, pour $Y$ quelconque. Résolvons $VX=Y$ avec $Y=(y_1,y_2,y_3{)}^{\top }$ : $c=y_1$ ; $a+b=y_2-y_1$ ; $4a+2b=y_3-y_1$, soit $2a+b=\frac{y_3-y_1}{2}$. En soustrayant : $a=\frac{y_3-y_1}{2}-(y_2-y_1)=\frac{y_1-2y_2+y_3}{2}$, puis $b=y_2-y_1-a=\frac{-3y_1+4y_2-y_3}{2}$. Il y a donc une solution pour tout $Y$, et elle s'écrit $X=BY$ avec $$B=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ -3& 4& -1\\ 2& 0& 0\end{array}\right).$$ Par le théorème du cours, $V$ est inversible et $V^{-1}=B$. Contrôle sur $Y=(1,0,3{)}^{\top }$ : $a=\frac{1+3}{2}=2$, $b=\frac{-3-3}{2}=-3$, $c=1$. Ainsi, quelles que soient les trois ordonnées imposées aux abscisses $0,1,2$, la parabole existe et est unique.

Le point délicat. L'unicité s'est lue sur le système homogène, par un argument sur les racines, sans résoudre. L'existence, elle, a demandé la résolution — pour l'instant. L'exercice 9 montrera que pour une matrice carrée, l'unicité seule suffit : « $VX=0$ n'a que la solution nulle » entraîne « $V$ inversible ». La finitude — trois inconnues, trois équations — en est la raison.

c) La généralisation. Soient $x_0,\dots ,x_n$ des abscisses deux à deux distinctes et $y_0,\dots ,y_n$ des ordonnées. La matrice $V$, de taille $(n+1)\times (n+1)$, a pour ligne $i$ les puissances $(x_i^n,x_i^{n-1},\dots ,x_i,1)$ ; on l'appelle matrice de Vandermonde. Le système homogène $VX=0$ dit qu'un polynôme de degré au plus $n$ s'annule en $n+1$ points distincts : par le résultat admis, il est nul, donc $X=0$. Avec l'exercice 9, $V$ est inversible : par $n+1$ points d'abscisses distinctes passe une et une seule courbe polynomiale de degré au plus $n$. C'est le théorème d'interpolation de Lagrange, que le chapitre 10 démontrera par une autre voie, en construisant explicitement le polynôme.

d) Deux abscisses égales. Si $x_1=x_2$, les lignes $1$ et $2$ de $V$ sont identiques. Le système $VX=Y$ impose alors $y_1=y_2$ : pour un second membre avec $y_1\ne y_2$ (deux ordonnées différentes au même point), il n'a aucune solution. Donc $V$ n'est pas inversible, et le système homogène a des solutions non nulles — une parabole peut passer deux fois par le même point sans que cela la contraigne davantage. Il n'y a plus ni existence pour tout $Y$, ni unicité.

Ce que l'exercice installe. Un problème d'interpolation est un système linéaire dont l'inconnue est la liste des coefficients ; l'unicité se lit sur le système homogène par un argument de racines, et l'inversibilité de la matrice en découle. C'est le premier pont entre les matrices et les polynômes ; le chapitre 10 le traversera dans l'autre sens, et le chapitre 14 donnera au déterminant de Vandermonde sa formule.