mathématiques MPSI · Chapitre 9 · Exercice de TD

Un polynôme annulateur donne l'inverse, et toutes les puissances

Calcul matriciel et systèmes linéaires · D. L'anneau $M_{n} (K)$ et les inversibles · niveau 2

Énoncé

Soit $A \in M_{n} (K)$ telle que $A^{2} - 3 A + 2 I_{n} = 0$ .

a) Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{- 1}$ en fonction de $A$ . Vérifier sur $A = (1012)$ .

b) Montrer que pour tout $m \in N$ , $A^{m} = α_{m} A + β_{m} I_{n}$ avec $α_{m + 1} = 3 α_{m} + β_{m}$ et $β_{m + 1} = - 2 α_{m}$ , puis que $α_{m} = 2^{m} - 1$ et $β_{m} = 2 - 2^{m}$ .

c) Même travail pour une matrice vérifiant $A^{2} = A + 2 I_{n}$ : inverse, puis $A^{3}$ et $A^{4}$ en fonction de $A$ et $I_{n}$ .

d) Une matrice vérifiant $A^{2} = A$ est-elle inversible ? Quelle hypothèse sur la relation polynomiale fait fonctionner le a) ?

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le calcul dans l'anneau $M_{n} (K)$ , où $A$ commute avec ses puissances et avec $I_{n}$ , et la définition de l'inverse. La stratégie : une relation polynomiale en $A$ dont le terme constant est non nul s'isole en $A \times (polyn o ˆ me en A) = I_{n}$ .

a) L'inverse, sans pivot. La relation s'écrit $A^{2} - 3 A = - 2 I_{n}$ , soit $A (A - 3 I_{n}) = - 2 I_{n}$ , ou encore $A \cdot \frac{1}{2} (3 I_{n} - A) = I_{n}$ . Comme $A$ commute avec $3 I_{n} - A$ , on a aussi $\frac{1}{2} (3 I_{n} - A) \cdot A = I_{n}$ . Donc $A$ est inversible et $A^{- 1} = \frac{1}{2} (3 I_{n} - A)$ . Sur l'exemple : $A^{2} = (1034)$ et $3 A - 2 I_{2} = (3036) - (2002) = (1034)$ : la relation est vérifiée, et $A^{- 1} = \frac{1}{2} (20 - 1 1)$ . Contrôle : $A A^{- 1} = \frac{1}{2} (20 - 1 + 1 2) = I_{2}$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Montrer que pour tout $m \in N$ , $A^{m} = α_{m} A + β_{m} I_{n}$ avec $α_{m + 1} = 3 α_{m} + β_{m}$ et $β_{m + 1} = - 2 α_{m}$ , puis que $α_{m} = 2^{m} - 1$ et $β_{m} = 2 - 2^{m}$ .

Élève

La récurrence pour la forme $α_{m} A + β_{m} I_{n}$ marche : je remplace $A^{2}$ par $3 A - 2 I_{n}$ dans $A^{m + 1}$ . Mais pour arriver à $α_{m} = 2^{m} - 1$ , je ne sais pas résoudre un système de deux suites couplées.

Deux voies s'offrent à toi : vérifier par récurrence les formules que l'énoncé fournit, ou éliminer $β_{m}$ pour obtenir une récurrence portant sur la seule suite $(α_{m})$ . Laquelle te paraît la plus directe ?

Élève

Vérifier les formules, puisqu'elles sont données. Pour $m = 0$ , $A^{0} = I_{n}$ donne $α_{0} = 0$ et $β_{0} = 1$ , ce qui colle.

Pour l'hérédité, que donnent les deux relations de récurrence quand tu y injectes les formules au rang $m$ ? Et par l'autre voie, quelle récurrence linéaire d'ordre $2$ vérifie $(α_{m})$ , et pourquoi les racines de $X^{2} - 3 X + 2$ y apparaissent-elles ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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