Un polynôme annulateur donne l'inverse, et toutes les puissances

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le calcul dans l'anneau ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$, où $A$ commute avec ses puissances et avec $I_n$, et la définition de l'inverse. La stratégie : une relation polynomiale en $A$ dont le terme constant est non nul s'isole en $A\times (\text{polynoˆme en }A)=I_n$.

a) L'inverse, sans pivot. La relation s'écrit $A^2-3A=-2I_n$, soit $A(A-3I_n)=-2I_n$, ou encore $A\cdot \frac{1}{2}(3I_n-A)=I_n$. Comme $A$ commute avec $3I_n-A$, on a aussi $\frac{1}{2}(3I_n-A)\cdot A=I_n$. Donc $A$ est inversible et $A^{-1}=\frac{1}{2}(3I_n-A)$. Sur l'exemple : $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 4\end{array}\right)$ et $3A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 0& 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 4\end{array}\right)$ : la relation est vérifiée, et $A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$. Contrôle : $A{A}^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& -1+1\\ 0& 2\end{array}\right)=I_2$.

b) Toutes les puissances. Montrons par récurrence que $A^m$ est de la forme ${\alpha }_{m}A+{\beta }_m{I}_n$. Pour $m=0$ : $A^0=I_n$, avec ${\alpha }_0=0$, ${\beta }_0=1$. Si $A^m={\alpha }_{m}A+{\beta }_m{I}_n$, alors, en remplaçant $A^2$ par $3A-2I_n$ : $$A^{m+1}={\alpha }_m{A}^2+{\beta }_{m}A={\alpha }_m(3A-2I_n)+{\beta }_{m}A=(3{\alpha }_m+{\beta }_m)A-2{\alpha }_m{I}_n.$$ D'où ${\alpha }_{m+1}=3{\alpha }_m+{\beta }_m$ et ${\beta }_{m+1}=-2{\alpha }_m$. Vérifions ${\alpha }_m=2^m-1$, ${\beta }_m=2-2^m$ par récurrence : pour $m=0$, $2^0-1=0$ et $2-1=1$ ; et si c'est vrai au rang $m$, $3(2^m-1)+(2-2^m)=2\cdot 2^m-1=2^{m+1}-1$ et $-2(2^m-1)=2-2^{m+1}$. Donc $A^m=(2^m-1)A+(2-2^m)I_n$ pour tout $m\in \mathbb{N}$. La formule vaut même pour $m=-1$ : $(2^{-1}-1)A+(2-2^{-1})I_n=-\frac{1}{2}A+\frac{3}{2}{I}_n=\frac{1}{2}(3I_n-A)=A^{-1}$.

c) La relation $A^2=A+2I_n$. Elle s'écrit $A^2-A=2I_n$, soit $A(A-I_n)=2I_n$ : $A$ est inversible et $A^{-1}=\frac{1}{2}(A-I_n)$. Puis $A^3=A\cdot A^2=A^2+2A=(A+2I_n)+2A=3A+2I_n$, et $A^4=A\cdot A^3=3A^2+2A=3(A+2I_n)+2A=5A+6I_n$. Le même mécanisme donnerait $A^m={\alpha }_{m}A+{\beta }_m{I}_n$ avec ${\alpha }_{m+1}={\alpha }_m+{\beta }_m$, ${\beta }_{m+1}=2{\alpha }_m$.

d) Ce qui fait marcher la méthode. Si $A^2=A$, alors $A(A-I_n)=0$. Si $A$ était inversible, on pourrait multiplier par $A^{-1}$ : $A-I_n=0$, soit $A=I_n$. Donc une matrice vérifiant $A^2=A$ et différente de $I_n$ n'est pas inversible — par exemple $E_{1,1}$, ou la matrice nulle. Ce qui a fait marcher le a), c'est que la relation $A^2-3A+2I_n=0$ a un terme constant non nul : $2I_n$ passe de l'autre côté et $A$ se met en facteur du reste. Pour $A^2=A$, le terme constant est nul, et l'on n'obtient que $A(A-I_n)=0$, qui n'isole pas $I_n$. En général, si $P(A)=0$ avec $P=XQ+c$, $c\ne 0$, alors $A\cdot Q(A)=-c{I}_n$ et $A^{-1}=-\frac{1}{c}Q(A)$.

Ce que l'exercice installe. Une relation polynomiale vérifiée par $A$ — un polynôme annulateur — livre l'inverse gratuitement, dès que son terme constant est non nul, et ramène toutes les puissances à un nombre fixe de termes. Le chapitre 10 dira pourquoi : $A^m$ est le reste de la division euclidienne de $X^m$ par le polynôme annulateur, évalué en $A$ ; et l'on remarque déjà que $X^2-3X+2=(X-1)(X-2)$, dont les racines $1$ et $2$ sont les coefficients diagonaux de la matrice de l'exemple — ce n'est pas un hasard, et la deuxième année l'expliquera.