Résoudre le système homogène…

Stratégie : échelonner, puis exprimer les inconnues principales en fonction des inconnues libres. Le système est homogène : il a toujours au moins la solution nulle, la question est de décrire toutes les autres.

a) Échelonnement. Le système s'écrit $AX=0$ avec $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\end{array}\right)$. L'opération $L_2\leftarrow L_2-L_1$ donne $$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& -2& 0& -2\end{array}\right)$$ soit, après division de la seconde ligne par $-2$ : $x+y+z+t=0$ et $y+t=0$.

b) Résolution. La seconde équation donne $y=-t$ ; en reportant dans la première, $x+z=0$, soit $x=-z$. Les inconnues $z$ et $t$ sont libres, les inconnues $x$ et $y$ sont principales : $$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-z\\ -t\\ z\\ t\end{array}\right)=z\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right),(z,t)\in {\mathbb{R}}^2$$ L'ensemble des solutions est donc l'ensemble des combinaisons linéaires de deux colonnes : deux inconnues libres, deux « degrés de liberté ».

⚠️ Le point délicat : le nombre d'inconnues libres se lit sur la forme échelonnée, pas sur l'énoncé. Ici $4$ inconnues et $2$ équations, mais c'est le rang ($2$, car les deux lignes échelonnées sont non nulles) qui décide : $4-2=2$ paramètres. Deux équations peuvent parfaitement n'imposer qu'une seule contrainte si l'une est conséquence de l'autre.

Contrôle numérique. Le calcul du noyau de $A$ donne bien une famille de deux vecteurs ; les deux colonnes annoncées annulent $A$, et la matrice formée de ces deux colonnes ajoutées à la base calculée reste de rang $2$ : elles engendrent donc exactement le noyau, sans rien oublier ni ajouter. Vérification directe : $(-1)+0+1+0=0$ et $(-1)-0+1-0=0$.

Ce que l'exercice installe. L'ensemble des solutions d'un système homogène est stable par somme et par multiplication scalaire : c'est un sous-espace vectoriel, décrit par une famille génératrice lue directement sur les inconnues libres. C'est la porte d'entrée du chapitre 12, et la raison pour laquelle on écrit les solutions en colonnes plutôt qu'en phrases.