Transposée et symétrie

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques MPSI, chapitre 9 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · A. Opérations sur les matrices

Énoncé

Soit $A \in M_{n, p} (K)$ quelconque. Montrer que $A^{⊤} A$ et $A A^{⊤}$ sont des matrices carrées symétriques.

Corrigé

$A^{⊤} A \in M_{p} (K)$ est carrée, et par les règles sur les transposées : $(A^{⊤} A)^{⊤} = A^{⊤} (A^{⊤})^{⊤} = A^{⊤} A .$ De même pour $A A^{⊤}$ . (Ces matrices, omniprésentes en statistiques et en analyse numérique — moindres carrés —, sont toujours symétriques.)

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.