Le centre de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ : tester sur les matrices élémentaires

Ce qu'on a le droit d'utiliser. « Toute matrice est combinaison linéaire de matrices élémentaires », la règle $E_{i,j}{E}_{k,l}={\delta }_{j,k}{E}_{i,l}$, la bilinéarité du produit, et le produit des matrices diagonales. La stratégie du a) : il suffit de faire commuter $A$ avec les $E_{i,j}$, car si $A$ commute avec chaque $E_{i,j}$, elle commute avec toute combinaison linéaire des $E_{i,j}$ par bilinéarité — c'est-à-dire avec toute matrice.

a) Le centre. Les matrices scalaires conviennent : $(\lambda I_n)M=\lambda M=M(\lambda I_n)$ pour toute $M$. Réciproquement, soit $A={\sum }_{k,l}{a}_{k,l}{E}_{k,l}$ commutant avec toutes les matrices, en particulier avec $E_{i,j}$ pour $i,j$ fixés. Calculons les deux produits avec la règle des matrices élémentaires : $$A{E}_{i,j}=\sum _{k,l}{a}_{k,l}{E}_{k,l}{E}_{i,j}=\sum _{k,l}{a}_{k,l}{\delta }_{l,i}{E}_{k,j}=\sum _k{a}_{k,i}{E}_{k,j},E_{i,j}A=\sum _{k,l}{a}_{k,l}{E}_{i,j}{E}_{k,l}=\sum _{k,l}{a}_{k,l}{\delta }_{j,k}{E}_{i,l}=\sum _l{a}_{j,l}{E}_{i,l}.$$ Lecture : $A{E}_{i,j}$ est la matrice dont la colonne $j$ est la colonne $i$ de $A$, et dont toutes les autres colonnes sont nulles ; $E_{i,j}A$ est la matrice dont la ligne $i$ est la ligne $j$ de $A$, et dont toutes les autres lignes sont nulles. Identifions les coefficients de $A{E}_{i,j}=E_{i,j}A$. Pour $k\ne i$, le coefficient $(k,j)$ vaut $a_{k,i}$ à gauche et $0$ à droite (la ligne $k$ de $E_{i,j}A$ est nulle) : donc $a_{k,i}=0$ pour tout $k\ne i$. Comme $i$ est quelconque, tous les coefficients hors diagonale de $A$ sont nuls. Le coefficient $(i,j)$ vaut $a_{i,i}$ à gauche et $a_{j,j}$ à droite : donc $a_{i,i}=a_{j,j}$ pour tous $i,j$, la diagonale est constante. Ainsi $A=\lambda I_n$.

Le centre de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est l'ensemble des matrices scalaires $\lambda I_n$. Pour $n\ge 2$, il est donc très petit : l'anneau est loin d'être commutatif.

Le point délicat. On n'a pas testé $A$ contre toutes les matrices, ce qui serait impossible, mais contre les $n^2$ matrices élémentaires, qui engendrent toutes les autres par combinaisons linéaires. C'est le même geste qu'au TD 1, où l'on testait une propriété ensembliste sur les singletons : on choisit les témoins les plus simples qui engendrent tout.

b) Le commutant d'une diagonale à coefficients distincts. Le coefficient $(i,j)$ de $AD$ vaut ${\sum }_k{a}_{i,k}{d}_{k,j}=a_{i,j}{d}_j$, puisque $D$ n'a que sa diagonale ; celui de $DA$ vaut ${\sum }_k{d}_{i,k}{a}_{k,j}=d_i{a}_{i,j}$. Donc $AD=DA$ si et seulement si $a_{i,j}{d}_j=d_i{a}_{i,j}$ pour tous $i,j$, soit $a_{i,j}(d_j-d_i)=0$. Pour $i\ne j$, $d_j-d_i\ne 0$ par hypothèse, donc $a_{i,j}=0$ : $A$ est diagonale. Réciproquement, deux matrices diagonales commutent (leur produit est la diagonale des produits, dans les deux ordres). Si deux coefficients de $D$ étaient égaux, disons $d_1=d_2$, la condition ne dirait rien sur $a_{1,2}$ et $a_{2,1}$ : le commutant serait plus gros.

Ce que l'exercice installe. Pour savoir ce qui commute avec tout, on teste sur une famille génératrice, et les matrices élémentaires sont la famille génératrice naturelle de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ ; le résultat, « le centre est réduit aux scalaires », est le pendant matriciel de l'exercice du chapitre 8 sur le centre d'un groupe. Et le b) est la première apparition du commutant d'une matrice, dont le chapitre 13 fera un outil pour les endomorphismes qui commutent entre eux.