mathématiques MPSI · Chapitre 9 · Exercice de TD

Le centre de $M_{n} (K)$ : tester sur les matrices élémentaires

Calcul matriciel et systèmes linéaires · D. L'anneau $M_{n} (K)$ et les inversibles · niveau 3 (difficile)

Énoncé

a) Déterminer les matrices $A \in M_{n} (K)$ qui commutent avec toutes les matrices de $M_{n} (K)$ .

b) Soit $D = diag (d_{1}, \dots, d_{n})$ une matrice diagonale dont les coefficients $d_{1}, \dots, d_{n}$ sont deux à deux distincts. Montrer que $A D = D A$ si et seulement si $A$ est diagonale.

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. « Toute matrice est combinaison linéaire de matrices élémentaires », la règle $E_{i, j} E_{k, l} = δ_{j, k} E_{i, l}$ , la bilinéarité du produit, et le produit des matrices diagonales. La stratégie du a) : il suffit de faire commuter $A$ avec les $E_{i, j}$ , car si $A$ commute avec chaque $E_{i, j}$ , elle commute avec toute combinaison linéaire des $E_{i, j}$ par bilinéarité — c'est-à-dire avec toute matrice.

a) Le centre. Les matrices scalaires conviennent : $(λ I_{n}) M = λ M = M (λ I_{n})$ pour toute $M$ . Réciproquement, soit $A = \sum_{k, l} a_{k, l} E_{k, l}$ commutant avec toutes les matrices, en particulier avec $E_{i, j}$ pour $i, j$ fixés. Calculons les deux produits avec la règle des matrices élémentaires : $A E_{i, j} = k, l \sum a_{k, l} E_{k, l} E_{i, j} = k, l \sum a_{k, l} δ_{l, i} E_{k, j} = k \sum a_{k, i} E_{k, j}, E_{i, j} A = k, l \sum a_{k, l} E_{i, j} E_{k, l} = k, l \sum a_{k, l} δ_{j, k} E_{i, l} = l \sum a_{j, l} E_{i, l} .$ Lecture : $A E_{i, j}$ est la matrice dont la colonne $j$ est la colonne $i$ de $A$ , et dont toutes les autres colonnes sont nulles ; $E_{i, j} A$ est la matrice dont la ligne $i$ est la ligne $j$ de $A$ , et dont toutes les autres lignes sont nulles. Identifions les coefficients de $A E_{i, j} = E_{i, j} A$ . Pour $k \neq = i$ , le coefficient $(k, j)$ vaut $a_{k, i}$ à gauche et $0$ à droite (la ligne $k$ de $E_{i, j} A$ est nulle) : donc $a_{k, i} = 0$ pour tout $k \neq = i$ . Comme $i$ est quelconque, tous les coefficients hors diagonale de $A$ sont nuls. Le coefficient $(i, j)$ vaut $a_{i, i}$ à gauche et $a_{j, j}$ à droite : donc $a_{i, i} = a_{j, j}$ pour tous $i, j$ , la diagonale est constante. Ainsi $A = λ I_{n}$ .

Le centre de $M_{n} (K)$ est l'ensemble des matrices scalaires $λ I_{n}$ . Pour $n \geq 2$ , il est donc très petit : l'anneau est loin d'être commutatif.

Le point délicat. On n'a pas testé $A$ contre toutes les matrices, ce qui serait impossible, mais contre les $n^{2}$ matrices élémentaires, qui engendrent toutes les autres par combinaisons linéaires. C'est le même geste qu'au TD 1, où l'on testait une propriété ensembliste sur les singletons : on choisit les témoins les plus simples qui engendrent tout.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Je voudrais reprendre la méthode du a) : tester $A$ contre les matrices élémentaires $E_{i, j}$ . Mais ici $A$ ne commute qu'avec $D$ , pas avec les $E_{i, j}$ .

En effet, la situation est différente : $D$ est une matrice fixée. Calcule directement le coefficient d'indice $(i, j)$ de $A D$ et celui de $D A$ : que deviennent les sommes, puisque $D$ n'a que sa diagonale ?

Élève

$(A D)_{i, j} = a_{i, j} d_{j}$ et $(D A)_{i, j} = d_{i} a_{i, j}$ .

Que traduit alors l'égalité $A D = D A$ pour chaque couple $(i, j)$ , et à quel endroit l'hypothèse « $d_{1}, \dots, d_{n}$ deux à deux distincts » intervient-elle ? Que deviendrait le résultat si l'on avait $d_{1} = d_{2}$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →

Le centre de Mn​(K) : tester sur les matrices élémentaires

Énoncé

Corrigé de la question 1

Question 2 : comment l'IA t'aide

Le centre de $M_{n} (K)$ : tester sur les matrices élémentaires