Structures algébriques usuelles

L'addition et la multiplication sur $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ ; la composition $\circ$ sur l'ensemble des applications de $X$ dans $X$ ; l'addition des fonctions ; le PGCD $\wedge$ sur $\mathbb{N}$. En revanche, la soustraction n'est pas une l.c.i. sur $\mathbb{N}$ ($2-5\notin \mathbb{N}$), ni le produit scalaire sur les vecteurs du plan (le résultat est un nombre, pas un vecteur).

Si $\star$ est associative :

• l'élément neutre, s'il existe, est unique ;
• l'inverse d'un élément inversible est unique (on le note $x^{-1}$, ou $-x$ en notation additive).

Si $\star$ est associative de neutre $e$, et si $x$ et $y$ sont inversibles, alors $x\star y$ est inversible et :

$$(x\star y{)}^{-1}=y^{-1}\star x^{-1}.$$

Attention à l'ordre : il s'inverse (sauf si la loi est commutative).

C'est la « règle des chaussettes » : pour défaire « mettre les chaussettes puis les chaussures », on retire les chaussures puis les chaussettes. On la retrouvera pour les bijections (${\left(g\circ f\right)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$) et les matrices.

$\mathbb{N}$ est stable par addition et multiplication dans $\mathbb{Z}$, mais pas par soustraction. $\mathbb{U}$ est stable par multiplication dans $\mathbb{C}$ ($|z{z}^{\prime }|=|z||z^{\prime }|=1$) ; les fonctions croissantes sont stables par composition et par somme, mais pas par différence.

Dans un groupe noté multiplicativement, on pose $x^0=e$, $x^{n+1}=x^{n}x$ et $x^{-n}={\left(x^{-1}\right)}^n$ pour $n\in \mathbb{N}$ : ainsi $x^m{x}^n=x^{m+n}$ pour tous $m,n\in \mathbb{Z}$. Dans un groupe noté additivement (toujours abélien en pratique), on écrit $nx$ au lieu de $x^n$, $-x$ pour l'inverse, et $0$ pour le neutre.

• Groupes additifs : $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{Q},+)$, $(\mathbb{R},+)$, $(\mathbb{C},+)$ — neutre $0$, inverse $-x$. (Mais $(\mathbb{N},+)$ n'est pas un groupe : $1$ n'a pas d'opposé dans $\mathbb{N}$.)
• Groupes multiplicatifs : $({\mathbb{Q}}^{\ast },\times )$, $({\mathbb{Q}}_{+}^{\ast },\times )$, $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$, $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$, $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$ — neutre $1$, inverse $\frac{1}{x}$. (Il faut exclure $0$, qui n'est pas inversible.)
• $(\mathbb{U},\times )$ et $({\mathbb{U}}_n,\times )$ : les nombres complexes de module $1$ et les racines $n$-ièmes de l'unité (chapitre 3) — la stabilité vient de $|z{z}^{\prime }|=|z||z^{\prime }|$ et $(z{z}^{\prime }{)}^n=z^n{z}^{\prime n}$.

Soit $X$ un ensemble. L'ensemble des bijections de $X$ dans $X$ (appelées permutations de $X$), muni de la composition $\circ$, est un groupe, noté ${\mathfrak{S}}_X$ (ou $S_X$) : la composée de deux bijections est une bijection, $\circ$ est associative, le neutre est l'identité ${\mathrm{id}}_X$, et l'inverse de $\sigma$ est sa bijection réciproque ${\sigma }^{-1}$.

Dès que $X$ a au moins trois éléments, ${\mathfrak{S}}_X$ n'est pas abélien : composer deux échanges dans des ordres différents ne donne pas le même résultat (exercice 18). Les groupes de permutations sont historiquement les premiers groupes étudiés (Galois), et l'on verra qu'ils jouent un rôle central en algèbre linéaire (déterminants) et en dénombrement.

Si $(G,\star )$ et $(H,\top )$ sont des groupes, le produit cartésien $G\times H$ muni de la loi « composante par composante »

$$(g,h)\cdot (g^{\prime },h^{\prime })=(g\star g^{\prime },h\top h^{\prime })$$

est un groupe, de neutre $(e_G,e_H)$ et d'inverse $(g,h{)}^{-1}=(g^{-1},h^{-1})$ : c'est le groupe produit.

Dans un groupe $G$ : tout élément est simplifiable ($ax=ay\Rightarrow x=y$ et $xa=ya\Rightarrow x=y$, en multipliant par $a^{-1}$), et les équations $ax=b$ et $xa=b$ ont chacune une unique solution ($x=a^{-1}b$ et $x=b{a}^{-1}$).

$H\subset G$ est un sous-groupe si et seulement si :

$$H\ne \varnothing \text{et}\forall x,y\in H,x\star y^{-1}\in H.$$

• Chaînes de sous-groupes : $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$ (pour $+$) et ${\mathbb{U}}_n\subset \mathbb{U}\subset {\mathbb{C}}^{\ast }$ (pour $\times$).
• Pour tout $n\in \mathbb{N}$, l'ensemble $n\mathbb{Z}=\{nk:k\in \mathbb{Z}\}$ des multiples de $n$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$ — et ce sont les seuls (exercice résolu 8, grâce à la division euclidienne !).
• $\{e\}$ et $G$ sont toujours des sous-groupes (dits triviaux).