Structures algébriques usuelles

L'addition et la multiplication sur $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ ; la composition $\circ$ sur l'ensemble des applications de $X$ dans $X$ ; l'addition des fonctions ; le PGCD $\wedge$ sur $\mathbb{N}$. En revanche, la soustraction n'est pas une l.c.i. sur $\mathbb{N}$ ($2-5\notin \mathbb{N}$), ni le produit scalaire sur les vecteurs du plan (le résultat est un nombre, pas un vecteur).

Si $\star$ est associative :

• l'élément neutre, s'il existe, est unique ;
• l'inverse d'un élément inversible est unique (on le note $x^{-1}$, ou $-x$ en notation additive).

Si $\star$ est associative de neutre $e$, et si $x$ et $y$ sont inversibles, alors $x\star y$ est inversible et :

$$(x\star y{)}^{-1}=y^{-1}\star x^{-1}.$$

Attention à l'ordre : il s'inverse (sauf si la loi est commutative).

C'est la « règle des chaussettes » : pour défaire « mettre les chaussettes puis les chaussures », on retire les chaussures puis les chaussettes. On la retrouvera pour les bijections (${\left(g\circ f\right)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$) et les matrices.

$\mathbb{N}$ est stable par addition et multiplication dans $\mathbb{Z}$, mais pas par soustraction. $\mathbb{U}$ est stable par multiplication dans $\mathbb{C}$ ($|z{z}^{\prime }|=|z||z^{\prime }|=1$) ; les fonctions croissantes sont stables par composition et par somme, mais pas par différence.

Dans un groupe noté multiplicativement, on pose $x^0=e$, $x^{n+1}=x^{n}x$ et $x^{-n}={\left(x^{-1}\right)}^n$ pour $n\in \mathbb{N}$ : ainsi $x^m{x}^n=x^{m+n}$ pour tous $m,n\in \mathbb{Z}$. Dans un groupe noté additivement (toujours abélien en pratique), on écrit $nx$ au lieu de $x^n$, $-x$ pour l'inverse, et $0$ pour le neutre.

• Groupes additifs : $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{Q},+)$, $(\mathbb{R},+)$, $(\mathbb{C},+)$ — neutre $0$, inverse $-x$. (Mais $(\mathbb{N},+)$ n'est pas un groupe : $1$ n'a pas d'opposé dans $\mathbb{N}$.)
• Groupes multiplicatifs : $({\mathbb{Q}}^{\ast },\times )$, $({\mathbb{Q}}_{+}^{\ast },\times )$, $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$, $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$, $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$ — neutre $1$, inverse $\frac{1}{x}$. (Il faut exclure $0$, qui n'est pas inversible.)
• $(\mathbb{U},\times )$ et $({\mathbb{U}}_n,\times )$ : les nombres complexes de module $1$ et les racines $n$-ièmes de l'unité (chapitre 3) — la stabilité vient de $|z{z}^{\prime }|=|z||z^{\prime }|$ et $(z{z}^{\prime }{)}^n=z^n{z}^{\prime n}$.

Soit $X$ un ensemble. L'ensemble des bijections de $X$ dans $X$ (appelées permutations de $X$), muni de la composition $\circ$, est un groupe, noté ${\mathfrak{S}}_X$ (ou $S_X$) : la composée de deux bijections est une bijection, $\circ$ est associative, le neutre est l'identité ${\mathrm{id}}_X$, et l'inverse de $\sigma$ est sa bijection réciproque ${\sigma }^{-1}$.

Dès que $X$ a au moins trois éléments, ${\mathfrak{S}}_X$ n'est pas abélien : composer deux échanges dans des ordres différents ne donne pas le même résultat (exercice 18). Les groupes de permutations sont historiquement les premiers groupes étudiés (Galois), et l'on verra qu'ils jouent un rôle central en algèbre linéaire (déterminants) et en dénombrement.

Si $(G,\star )$ et $(H,\top )$ sont des groupes, le produit cartésien $G\times H$ muni de la loi « composante par composante »

$$(g,h)\cdot (g^{\prime },h^{\prime })=(g\star g^{\prime },h\top h^{\prime })$$

est un groupe, de neutre $(e_G,e_H)$ et d'inverse $(g,h{)}^{-1}=(g^{-1},h^{-1})$ : c'est le groupe produit.

Dans un groupe $G$ : tout élément est simplifiable ($ax=ay\Rightarrow x=y$ et $xa=ya\Rightarrow x=y$, en multipliant par $a^{-1}$), et les équations $ax=b$ et $xa=b$ ont chacune une unique solution ($x=a^{-1}b$ et $x=b{a}^{-1}$).

$H\subset G$ est un sous-groupe si et seulement si :

$$H\ne \varnothing \text{et}\forall x,y\in H,x\star y^{-1}\in H.$$

• Chaînes de sous-groupes : $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$ (pour $+$) et ${\mathbb{U}}_n\subset \mathbb{U}\subset {\mathbb{C}}^{\ast }$ (pour $\times$).
• Pour tout $n\in \mathbb{N}$, l'ensemble $n\mathbb{Z}=\{nk:k\in \mathbb{Z}\}$ des multiples de $n$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$ — et ce sont les seuls (exercice résolu 8, grâce à la division euclidienne !).
• $\{e\}$ et $G$ sont toujours des sous-groupes (dits triviaux).

• $\exp :(\mathbb{R},+)\to ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$ est un morphisme — c'est exactement la relation $e^{x+y}=e^x{e}^y$ — et même un isomorphisme, de réciproque $\ln$ (qui transforme les produits en sommes).
• $t\mapsto e^{it}$, de $(\mathbb{R},+)$ dans $(\mathbb{U},\times )$ : morphisme surjectif, non injectif.
• $z\mapsto |z|$, de $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$ dans $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$ : morphisme, car $|z{z}^{\prime }|=|z||z^{\prime }|$.
• $z\mapsto z^n$ de $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$ dans lui-même : morphisme (endomorphisme), car $(z{z}^{\prime }{)}^n=z^n{z}^{\prime n}$.

Si $f:G\to G^{\prime }$ est un morphisme de groupes :

$$f(e_G)=e_{G^{\prime }},f\left(x^{-1}\right)=f(x{)}^{-1},f\left(x^n\right)=f(x{)}^n(n\in \mathbb{Z}).$$

De plus, la composée de deux morphismes est un morphisme, et la réciproque d'un isomorphisme est un isomorphisme.

Soit $f:G\to G^{\prime }$ un morphisme de groupes.

• Si $H$ est un sous-groupe de $G$, alors $f(H)$ est un sous-groupe de $G^{\prime }$.
• Si $H^{\prime }$ est un sous-groupe de $G^{\prime }$, alors $f^{-1}(H^{\prime })=\{x\in G:f(x)\in H^{\prime }\}$ est un sous-groupe de $G$.

Un morphisme de groupes $f:G\to G^{\prime }$ est injectif si et seulement si :

$$\mathrm{Ker}f=\{e_G\}.$$

(Et $f$ est surjectif si et seulement si $\mathrm{Im}f=G^{\prime }$.)

Pour $f:t\mapsto e^{it}$, de $(\mathbb{R},+)$ vers $(\mathbb{U},\times )$ : $\mathrm{Ker}f=\{t:e^{it}=1\}=2\pi \mathbb{Z}$ (chapitre 3 !) et $\mathrm{Im}f=\mathbb{U}$ : $f$ est surjectif mais pas injectif. Plutôt que de vérifier l'injectivité « à la main », on calcule le noyau : c'est souvent bien plus rapide.

Dans un anneau $A$, pour tous $a,b\in A$ :

$$0\times a=a\times 0=0,(-a)b=a(-b)=-(ab),(-a)(-b)=ab.$$

Si de plus $a$ et $b$ commutent ($ab=ba$), les identités du chapitre 2 restent valables :

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k{b}^{n-k}\text{(binoˆme)},a^n-b^n=(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}{a}^k{b}^{n-1-k}.$$

L'ensemble $A^{\times }$ des éléments inversibles (pour $\times$) d'un anneau $A$, muni de la multiplication, est un groupe, appelé groupe des inversibles (ou des unités) de $A$.

${\mathbb{Z}}^{\times }=\{1,-1\}$ (un entier inversible dans $\mathbb{Z}$ divise $1$) ; ${\mathbb{Q}}^{\times }={\mathbb{Q}}^{\ast }$, ${\mathbb{R}}^{\times }={\mathbb{R}}^{\ast }$, ${\mathbb{C}}^{\times }={\mathbb{C}}^{\ast }$. Dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, les inversibles sont les fonctions ne s'annulant jamais.

$\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ sont intègres. En revanche, $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ ne l'est pas : deux fonctions non nulles à supports disjoints (l'une nulle sur ${\mathbb{R}}_{-}$, l'autre sur ${\mathbb{R}}_{+}$) ont un produit identiquement nul. Dans un anneau intègre, on peut simplifier : $ab=ac$ et $a\ne 0$ entraînent $a(b-c)=0$, donc $b=c$.

Tout corps est un anneau intègre.

$\mathbb{Z}[i]=\{a+ib:a,b\in \mathbb{Z}\}$ est un sous-anneau de $\mathbb{C}$ : il contient $1$, et il est stable par différence (clair) et par produit :

$$(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc),\text{aˋ coefficients entiers}.$$

De même $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}:a,b\in \mathbb{Z}\}$ est un sous-anneau de $\mathbb{R}$ (car $(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}$).

La conjugaison $z\mapsto \overline{z}$ est un automorphisme de l'anneau $\mathbb{C}$ : $\overline{z+z^{\prime }}=\overline{z}+\overline{z^{\prime }}$, $\overline{z{z}^{\prime }}=\overline{z}\overline{z^{\prime }}$, $\overline{1}=1$ (chapitre 3 — le vocabulaire est nouveau, les formules non). De même $a+b\sqrt{2}\mapsto a-b\sqrt{2}$ est un automorphisme de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.

Sur $\mathbb{N}$, on considère la loi $x\star y=\max (x,y)$. Étudier l'associativité, la commutativité, l'existence d'un neutre et les éléments inversibles. $(\mathbb{N},\star )$ est-il un groupe ?

Montrer, par la caractérisation des sous-groupes, que $\mathbb{U}$ est un sous-groupe de $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$ et que ${\mathbb{U}}_n$ est un sous-groupe de $\mathbb{U}$.

Montrer que $\exp :(\mathbb{R},+)\to ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$ est un isomorphisme de groupes. Quelle est sa réciproque ?

Sur $E=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, on définit $x\star y=x+y-xy$. Montrer que $(E,\star )$ est un groupe abélien.

Déterminer le noyau et l'image des morphismes suivants, et préciser s'ils sont injectifs ou surjectifs :

$$f:({\mathbb{C}}^{\ast },\times )\to ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times ),z\mapsto |z|\text{et}g:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{U},\times ),t\mapsto e^{it}.$$

Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes d'un groupe $G$. Montrer que $H\cap K$ est un sous-groupe de $G$. La réunion $H\cup K$ en est-elle un ?

Montrer que $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}:a,b\in \mathbb{Z}\}$ est un sous-anneau de $\mathbb{R}$, puis que $1+\sqrt{2}$ y est inversible. Qu'en déduit-on sur le groupe $\mathbb{Z}[\sqrt{2}{]}^{\times }$ ?

Montrer que les sous-groupes de $(\mathbb{Z},+)$ sont exactement les $n\mathbb{Z}$, pour $n\in \mathbb{N}$.

• Déterminer tous les morphismes de groupes $f:(\mathbb{Z},+)\to (\mathbb{Z},+)$.
• Montrer que le seul morphisme de groupes $g:(\mathbb{Q},+)\to (\mathbb{Z},+)$ est le morphisme nul.

Soit $A$ un anneau et $a\in A$ nilpotent : il existe $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $a^k=0$. Montrer que $1-a$ est inversible, et exprimer son inverse.

• L.c.i. : application $E\times E\to E$ ; associativité, commutativité, neutre (unique), inversibilité (inverse unique si associative), distributivité ; $(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}$ (l'ordre s'inverse) ; partie stable.
• Groupe : l.c.i. associative + neutre + tout élément inversible ; abélien si commutatif ; notations $x^n$ / $nx$. Exemples : $(\mathbb{Z},+)$, …, $(\mathbb{C},+)$ ; $({\mathbb{Q}}^{\ast },\times )$, …, $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$, $\mathbb{U}$, ${\mathbb{U}}_n$ ; permutations ${\mathfrak{S}}_X$ (non abélien dès $3$ éléments) ; groupe produit ; simplification et résolution de $ax=b$.
• Sous-groupe : $H\ne \varnothing$ et $x{y}^{-1}\in H$ — la méthode reine pour montrer qu'on a un groupe (structure héritée) ; les sous-groupes de $\mathbb{Z}$ sont les $n\mathbb{Z}$ (division euclidienne).
• Morphisme de groupes : $f(x\star y)=f(x)\top f(y)$ ; envoie neutre sur neutre, inverse sur inverse ; images directe et réciproque de sous-groupes = sous-groupes ; $\mathrm{Ker}f$, $\mathrm{Im}f$ ; injectif $⟺$ $\mathrm{Ker}f=\{e\}$ ; isomorphisme (exp/ln : $(\mathbb{R},+)\cong ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$).
• Anneau (unitaire) : $(A,+)$ groupe abélien, $\times$ associative avec $1$, distributivité ; $0a=0$, $(-a)b=-ab$ ; binôme et $a^n-b^n$ si $ab=ba$ ; groupe des inversibles $A^{\times }$ (${\mathbb{Z}}^{\times }=\{\pm 1\}$) ; intègre : $ab=0\Rightarrow a=0$ ou $b=0$ (contre-exemple : les fonctions) ; corps : commutatif, tout non nul inversible ($\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$) ; corps $\Rightarrow$ intègre.
• Sous-anneau ($1\in B$, stable par $-$ et $\times$ ; ex. $\mathbb{Z}[i]$, $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$) ; morphisme d'anneaux ($+$, $\times$ et $f(1)=1$) ; conjugaison = automorphisme de $\mathbb{C}$.