Exercices corrigés — Structures algébriques usuelles (mathématiques MPSI)

23 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

A. Lois de composition interne

• Un groupe sur R\{1} Exercice classique
• L'addition relativiste des vitesses, ou le transport de structure Exercice de TD
• Étude d'une loi : le monoïde max Application directe du cours

B. Groupes et sous-groupes

• Les sous-groupes de $(\mathbb{Z},+)$ et de $(\mathbb{R},+)$ : $n\mathbb{Z}$, puis « $a\mathbb{Z}$ ou dense » Exercice de TD
• La réunion de deux sous-groupes Exercice de TD
• Un sous-groupe fini de $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$ vit sur le cercle Exercice de TD
• Intersection et réunion de sous-groupes Exercice classique
• Soit G un groupe tel que x² = e pour tout x ∈ G. Montrer que G est… Application directe du cours
• Sous-groupes de C* Application directe du cours

C. Morphismes de groupes

• Isomorphes ou non ? $\mathbb{Q}$ contre ${\mathbb{Q}}_{+}^{\ast }$, et ${\mathbb{R}}^{\ast }$ comme produit Exercice de TD
• Un morphisme est déterminé par l'image de $1$ Exercice de TD
• Soit n ≥ 1. Montrer que z ↦ zⁿ est un morphisme surjectif de (U, ×)… Application directe du cours
• L'isomorphisme exponentiel Application directe du cours
• Noyaux et images Application directe du cours

D. Anneaux et corps

• Nilpotents : la série géométrique tronquée Exercice de TD
• La norme décide : $\mathbb{Z}[i{]}^{\times }$, $\mathbb{Z}[\sqrt{2}{]}^{\times }$, et $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ est un corps Exercice de TD
• Tout anneau intègre fini est un corps Exercice de TD
• Montrer que ℚ[√2] = { a + b√2 : a, b ∈ ℚ } est un corps. Exercice classique
• L'anneau Z[√2] Exercice classique
• Montrer que l'anneau F(ℝ, ℝ) des fonctions de ℝ dans ℝ n'est pas… Application directe du cours

E. Problèmes et approfondissements

• Problème — Le théorème de Cayley : tout groupe est un groupe de permutations Exercice de TD
• Soit G un groupe fini de cardinal pair. Montrer qu'il existe un… Application directe du cours
• Le centre d'un groupe. Soit Z(G) = { x ∈ G : ∀ g ∈ G, xg = gx }… Application directe du cours

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