mathématiques MPSI · Chapitre 8 · Application directe du cours

Sous-groupes de C*

Structures algébriques usuelles · B. Groupes et sous-groupes · niveau 1 (application)

Énoncé

Montrer, par la caractérisation des sous-groupes, que $U$ est un sous-groupe de $(C^{*}, \times)$ et que $U_{n}$ est un sous-groupe de $U$ .

Corrigé

$U \neq = \emptyset$ (il contient $1$ ). Pour $z, z^{'} \in U$ : $z z^{' - 1} = \frac{∣ z ∣}{∣ z ^{'} ∣} = 1$ , donc $z z^{' - 1} \in U$ : sous-groupe de $C^{*}$ . De même $1 \in U_{n}$ , et si $z^{n} = z^{' n} = 1$ : $(z z^{' - 1})^{n} = 1$ , donc sous-groupe. Chaîne : $U_{n} \subset U \subset C^{*}$ — toute l'étude du chapitre 3 se relit comme de la théorie des groupes.

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