Isomorphes ou non ? $\mathbb{Q}$ contre ${\mathbb{Q}}_{+}^{\ast }$, et ${\mathbb{R}}^{\ast }$ comme produit

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition d'un isomorphisme (morphisme bijectif), le fait que $\exp$ est un isomorphisme de $(\mathbb{R},+)$ sur $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$ (cours), la proposition « groupe produit », et l'irrationalité de $\sqrt{2}$. La stratégie a deux faces : pour montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes, on exhibe un invariant — une propriété qui ne s'exprime qu'avec la loi, que l'un possède et pas l'autre ; pour montrer qu'ils le sont, on construit l'isomorphisme, souvent en décomposant le groupe en un produit.

a) $\mathbb{Q}$ et ${\mathbb{Q}}_{+}^{\ast }$. L'invariant : « tout élément est le double d'un autre ». Dans $(\mathbb{Q},+)$, l'équation $x+x=a$ a une solution pour tout $a$, à savoir $x=a/2$, qui est rationnel. Dans $({\mathbb{Q}}_{+}^{\ast },\times )$, l'équation correspondante est $x\cdot x=a$ : pour $a=2$, elle n'a aucune solution, car un rationnel de carré $2$ serait $\sqrt{2}$, qui est irrationnel.

L'absurde. Supposons qu'il existe un isomorphisme $f:(\mathbb{Q},+)\to ({\mathbb{Q}}_{+}^{\ast },\times )$. Par surjectivité, il existe $a\in \mathbb{Q}$ tel que $f(a)=2$. Posons $x=a/2\in \mathbb{Q}$. Alors, $f$ étant un morphisme, $$f(x)\cdot f(x)=f(x+x)=f(a)=2.$$ Ainsi $f(x)$ est un rationnel strictement positif dont le carré vaut $2$ : contradiction. Les deux groupes ne sont pas isomorphes.

Le point délicat. La surjectivité de $f$ est indispensable : sans elle, rien ne garantit que $2$ soit atteint, et l'argument s'effondre. Un isomorphisme transporte les équations et leurs solutions : « $x+x=a$ a une solution pour tout $a$ » est une phrase qui ne parle que de la loi, elle doit donc être vraie ou fausse des deux côtés à la fois.