Intersection et réunion de sous-groupes

Exercice classique · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 8 — Structures algébriques usuelles · B. Groupes et sous-groupes

Énoncé

Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes d'un groupe $G$ . Montrer que $H \cap K$ est un sous-groupe de $G$ . La réunion $H \cup K$ en est-elle un ?

Corrigé

$e \in H \cap K \neq = \emptyset$ . Si $x, y \in H \cap K$ : $x y^{- 1} \in H$ et $x y^{- 1} \in K$ , donc $x y^{- 1} \in H \cap K$ : sous-groupe (l'argument vaut pour une intersection quelconque).

La réunion, en général, non : dans $(Z, +)$ , $H = 2 Z$ et $K = 3 Z$ : $2 + 3 = 5 \in / 2 Z \cup 3 Z$ — pas stable.

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