Un sous-groupe fini de $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$ vit sur le cercle

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La stabilité d'un sous-groupe par produit et par inverse, la multiplicativité du module, le principe des tiroirs (une application d'un ensemble à $N+1$ éléments dans un ensemble à $N$ éléments n'est pas injective), et les ensembles $\mathbb{U}$ et ${\mathbb{U}}_n$ du chapitre 3. La stratégie : la finitude interdit à une famille infinie d'éléments d'être deux à deux distincts, et l'on va exploiter ce ressort deux fois.

a) Le module vaut $1$. Soit $z\in H$. Par stabilité par produit, toutes les puissances $z,z^2,z^3,\dots$ sont dans $H$, et $|z^k|=|z{|}^k$. Si $|z|>1$, la suite $(|z{|}^k{)}_{k\ge 1}$ est strictement croissante ; si $|z|<1$, elle est strictement décroissante. Dans les deux cas, les modules $|z^k|$ sont deux à deux distincts, donc les $z^k$ sont deux à deux distincts : $H$ contiendrait une infinité d'éléments, ce qui contredit sa finitude. Donc $|z|=1$. Ainsi $H\subset \mathbb{U}$.