Un sous-groupe fini de $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$ vit sur le cercle

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La stabilité d'un sous-groupe par produit et par inverse, la multiplicativité du module, le principe des tiroirs (une application d'un ensemble à $N+1$ éléments dans un ensemble à $N$ éléments n'est pas injective), et les ensembles $\mathbb{U}$ et ${\mathbb{U}}_n$ du chapitre 3. La stratégie : la finitude interdit à une famille infinie d'éléments d'être deux à deux distincts, et l'on va exploiter ce ressort deux fois.

a) Le module vaut $1$. Soit $z\in H$. Par stabilité par produit, toutes les puissances $z,z^2,z^3,\dots$ sont dans $H$, et $|z^k|=|z{|}^k$. Si $|z|>1$, la suite $(|z{|}^k{)}_{k\ge 1}$ est strictement croissante ; si $|z|<1$, elle est strictement décroissante. Dans les deux cas, les modules $|z^k|$ sont deux à deux distincts, donc les $z^k$ sont deux à deux distincts : $H$ contiendrait une infinité d'éléments, ce qui contredit sa finitude. Donc $|z|=1$. Ainsi $H\subset \mathbb{U}$.

b) Une racine de l'unité. Soit $z\in H$. Les $N+1$ éléments $z^0=1,z^1,z^2,\dots ,z^N$ appartiennent tous à $H$, qui n'a que $N$ éléments. Par le principe des tiroirs, deux d'entre eux coïncident : il existe $0\le i<j\le N$ avec $z^i=z^j$. Comme $z\ne 0$, on peut multiplier par $z^{-i}$ : $z^{j-i}=1$, avec $k=j-i\ge 1$. Donc $z$ est une racine $k$-ième de l'unité.

Le point délicat. La division par $z^i$ est licite parce qu'on est dans un groupe : tout élément de ${\mathbb{C}}^{\ast }$ est inversible. Le même argument dans $(\mathbb{N},\times )$, qui n'est pas un groupe, ne donnerait rien. Et l'on n'a utilisé de $H$ que deux choses : sa stabilité par produit et sa finitude.

Bilan des a) et b). Un sous-groupe fini de ${\mathbb{C}}^{\ast }$ est contenu dans le cercle unité, et chacun de ses éléments est une racine de l'unité. Le cercle n'est pas un choix esthétique : c'est une conséquence de la finitude.

c) Le contre-exemple à la réciproque. Notons ${\mathbb{U}}_{\infty }$ la réunion des ${\mathbb{U}}_n$ pour $n\ge 1$.

C'est un sous-groupe de $\mathbb{U}$. Il contient $1\in {\mathbb{U}}_1$, et il est inclus dans $\mathbb{U}$ (chaque ${\mathbb{U}}_n\subset \mathbb{U}$). Soient $z\in {\mathbb{U}}_m$ et $z^{\prime }\in {\mathbb{U}}_n$ : $z^m=1$ et $z^{\prime n}=1$. Alors $${\left(z{z}^{\prime -1}\right)}^{mn}={\left(z^m\right)}^n{\left(z^{\prime n}\right)}^{-m}=1^n\cdot 1^{-m}=1,$$ en utilisant la commutativité de ${\mathbb{C}}^{\ast }$ pour distribuer la puissance. Donc $z{z}^{\prime -1}\in {\mathbb{U}}_{mn}\subset {\mathbb{U}}_{\infty }$. Par la caractérisation des sous-groupes, ${\mathbb{U}}_{\infty }$ est un sous-groupe de $(\mathbb{U},\times )$.

Il est infini. Il contient ${\mathbb{U}}_n$ pour tout $n$, et ${\mathbb{U}}_n$ a exactement $n$ éléments (chapitre 3) : le cardinal de ${\mathbb{U}}_{\infty }$ dépasse tout entier.

Chaque élément vérifie pourtant $z^k=1$. C'est la définition même de la réunion : $z\in {\mathbb{U}}_{\infty }$ signifie $z\in {\mathbb{U}}_k$ pour un certain $k$.

Conclusion. « Sous-groupe fini » implique « tous les éléments sont racines de l'unité », mais la réciproque est fausse : ${\mathbb{U}}_{\infty }$ est un sous-groupe infini dont tous les éléments sont racines de l'unité. Ce qui manque à ${\mathbb{U}}_{\infty }$ pour être fini, c'est un $k$ commun à tous ses éléments.

Ce que l'exercice installe. Deux idées de finitude. La première : dans un groupe fini, les puissances d'un élément se répètent, et une répétition $z^i=z^j$ se simplifie en $z^{j-i}=1$ — c'est la graine de la notion d'ordre d'un élément, qui viendra en deuxième année. La seconde : le module, qui est un morphisme de $({\mathbb{C}}^{\ast },\times )$ vers $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$, transporte un sous-groupe fini sur un sous-groupe fini de ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, et le seul sous-groupe fini de ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ est $\{1\}$. On sait d'ailleurs, mais c'est hors de ce chapitre, que les sous-groupes finis de ${\mathbb{C}}^{\ast }$ sont exactement les ${\mathbb{U}}_n$.