Soit G un groupe fini de cardinal pair. Montrer qu'il existe un…

Stratégie : compter en appariant. L'idée est de regrouper les éléments de $G$ deux par deux, chacun avec son inverse, et de regarder qui reste seul. On note $N=|G|$, supposé pair.

a) L'appariement. Considérons la relation qui associe $x$ et $x^{-1}$. Elle est symétrique (l'inverse de $x^{-1}$ est $x$), donc elle partage $G$ en paires $\{x,x^{-1}\}$ sauf pour les éléments qui sont leur propre inverse, c'est-à-dire ceux vérifiant $x=x^{-1}$, ou encore $x^2=e$. Notons $S=\{x\in G:x^2=e\}$. Alors $$N=|S|+2p$$ où $p$ est le nombre de paires $\{x,x^{-1}\}$ avec $x\ne x^{-1}$.

b) Conclusion par parité. $N$ est pair et $2p$ est pair, donc $|S|$ est pair. Or $e\in S$ (car $e^2=e$), donc $|S|\ge 1$ ; étant pair, $|S|\ge 2$ : il existe $$x\ne e\text{tel que}x=x^{-1}$$

⚠️ Le point délicat : sans la parité de $N$, la conclusion tombe. Dans un groupe de cardinal impair, $|S|$ est impair et peut donc valoir $1$ : il n'y a alors que $e$. C'est le cas de $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, où aucun élément non nul ne vérifie $x+x=0$.

Contrôle numérique. Dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, l'élément d'ordre $2$ existe si et seulement si $n$ est pair (vérifié pour $2\le n\le 8$) ; quand $n$ est pair, c'est $n/2$. Et ${\mathfrak{S}}_2$, ${\mathfrak{S}}_3$, ${\mathfrak{S}}_4$ — de cardinaux $2,6,24$, tous pairs — contiennent bien une transposition, qui est son propre inverse.

Ce que l'exercice installe. C'est le cas $p=2$ du théorème de Cauchy (si un premier $p$ divise $|G|$, alors $G$ contient un élément d'ordre $p$), et la technique — compter les points fixes d'une involution modulo $2$ — est celle qui démontre aussi le théorème des deux carrés de Fermat.