Soit n ≥ 1. Montrer que z ↦ zⁿ est un morphisme surjectif de (U, ×)…

Stratégie : passer en forme exponentielle, où l'élévation à la puissance devient une multiplication d'arguments. On note $\phi :\mathbb{U}\to \mathbb{U}$, $\phi (z)=z^n$, avec $n\ge 1$ fixé.

a) $\phi$ va bien de $\mathbb{U}$ dans $\mathbb{U}$, et c'est un morphisme. Si $|z|=1$ alors $\left|z^n\right|=|z{|}^n=1$ : l'application est bien définie. Et $$\phi (z{z}^{\prime })=(z{z}^{\prime }{)}^n=z^n{z}^{\prime n}=\phi (z)\phi (z^{\prime })$$ car ${\mathbb{C}}^{\ast }$ est commutatif. C'est un morphisme du groupe $(\mathbb{U},\times )$ dans lui-même.

b) Surjectivité. Soit $w\in \mathbb{U}$ : écrivons $w=e^{i\theta }$ avec $\theta \in \mathbb{R}$. Posons $z=e^{i\theta /n}$ ; alors $|z|=1$ et $$\phi (z)=e^{in\theta /n}=e^{i\theta }=w$$ Donc $\phi$ est surjective : tout nombre de module $1$ admet $n$ racines $n$-ièmes dans $\mathbb{U}$.

c) Le noyau. Par définition, $z\in \mathrm{Ker}\phi ⟺z^n=1$, c'est-à-dire $z\in {\mathbb{U}}_n$ : $$\mathrm{Ker}\phi ={\mathbb{U}}_n=\left\{e^{2ik\pi /n}:0\le k\le n-1\right\}$$ qui compte exactement $n$ éléments. En particulier $\phi$ n'est pas injective dès que $n\ge 2$ (le noyau n'est pas réduit à $\{1\}$).

⚠️ Le point délicat : $\theta$ n'est défini qu'à $2\pi$ près, et $\theta /n$ ne l'est plus. Deux écritures $\theta$ et $\theta +2\pi$ du même $w$ donnent deux antécédents différents, $e^{i\theta /n}$ et $e^{i\theta /n}{e}^{2i\pi /n}$. C'est précisément pourquoi la surjectivité est acquise mais l'injectivité perdue : les antécédents se déduisent l'un de l'autre par multiplication par un élément de ${\mathbb{U}}_n$.

Contrôle numérique avec $n=5$ : parmi les $1000$ points $e^{2i\pi t/1000}$ du cercle, exactement $5$ vérifient $z^5=1$ — le noyau a bien $n$ éléments, ni plus ni moins. Et ${\left(e^i\right)}^5=e^{5i}$ est de module $1$.

Ce que l'exercice installe. Le noyau mesure exactement le défaut d'injectivité : $\phi (z)=\phi (z^{\prime })⟺z^{\prime }{z}^{-1}\in \mathrm{Ker}\phi$. Ici, chaque élément de $\mathbb{U}$ a donc exactement $|{\mathbb{U}}_n|=n$ antécédents — le résultat du chapitre 3 sur les racines $n$-ièmes, relu comme un énoncé de théorie des groupes.