Montrer que l'anneau F(ℝ, ℝ) des fonctions de ℝ dans ℝ n'est pas…

Stratégie : construire un contre-exemple explicite, puis caractériser les inversibles point par point. L'anneau $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ est muni des lois point par point : $(f+g)(t)=f(t)+g(t)$ et $(fg)(t)=f(t)g(t)$. Son zéro est la fonction nulle, son unité la fonction constante $1$.

a) L'anneau n'est pas intègre. Posons $$f(t)=\max (t,0)\text{et}g(t)=\max (-t,0)$$ Ces deux fonctions sont non nulles ($f(1)=1$, $g(-1)=1$). Pourtant, pour tout $t$ : si $t\ge 0$ alors $g(t)=0$, si $t\le 0$ alors $f(t)=0$. Dans tous les cas $f(t)g(t)=0$, donc $$fg=0\text{avec}f\ne 0\text{ et }g\ne 0$$ $f$ et $g$ sont des diviseurs de zéro : l'anneau n'est pas intègre.

b) Les éléments inversibles. $f$ est inversible s'il existe $g$ avec $fg=gf=1$, c'est-à-dire $f(t)g(t)=1$ pour tout $t$. Ceci impose $f(t)\ne 0$ pour tout $t$ ; réciproquement, si $f$ ne s'annule jamais, $g=1/f$ convient. Donc $$\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}{)}^{\times }=\{f:\forall t\in \mathbb{R},f(t)\ne 0\}$$

⚠️ Le point délicat : « non nulle » et « ne s'annulant pas » sont deux choses différentes. La fonction $t\mapsto t$ est non nulle en tant qu'élément de l'anneau (elle n'est pas la fonction nulle), mais elle s'annule en $0$, donc n'est pas inversible. C'est toute la distance entre $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ et un corps : la négation de « $f=0$ » n'est pas « $f$ ne s'annule pas ».

Contrôle numérique. Sur les $101$ points $t=k/10$, $-5\le t\le 5$ : $f(t)g(t)=0$ partout, tandis que $f(1)=1\ne 0$ et $g(-1)=1\ne 0$. Le produit est bien la fonction nulle sans qu'aucun facteur ne le soit.

Ce que l'exercice installe. L'intégrité est une propriété rare. Dès qu'un anneau est fait de fonctions (ou de matrices, chapitre 9), le support des objets se découpe, et des produits nuls apparaissent sans facteur nul. La règle « $ab=0\Rightarrow a=0$ ou $b=0$ », familière dans $\mathbb{R}$, est un privilège des anneaux intègres.