Les sous-groupes de $(\mathbb{Z},+)$ et de $(\mathbb{R},+)$ : $n\mathbb{Z}$, puis « $a\mathbb{Z}$ ou dense »

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La caractérisation des sous-groupes ($H$ non vide et stable par $x-y$), la division euclidienne dans $\mathbb{Z}$ (chapitre 7), la partie entière, la borne inférieure d'une partie de $\mathbb{R}$ non vide et minorée avec sa caractérisation par $\epsilon$ (chapitre 5), l'irrationalité de $\sqrt{2}$, la continuité de $\cos$ et la caractérisation séquentielle de la continuité (chapitre 6). La stratégie : dans $\mathbb{Z}$, le plus petit élément strictement positif engendre tout ; dans $\mathbb{R}$, il n'y a pas toujours de plus petit élément, et c'est la borne inférieure qui tranche entre deux mondes.

a) Les sous-groupes de $\mathbb{Z}$. Chaque $n\mathbb{Z}$ est un sous-groupe : il contient $0=n\cdot 0$, et pour $nk,n{k}^{\prime }\in n\mathbb{Z}$, la différence $nk-n{k}^{\prime }=n(k-k^{\prime })$ est dans $n\mathbb{Z}$. Réciproquement, soit $H$ un sous-groupe de $\mathbb{Z}$. Si $H=\{0\}$, alors $H=0\mathbb{Z}$. Sinon $H$ contient un élément $x\ne 0$, et aussi $-x$ (stabilité par opposé) : $H\cap {\mathbb{N}}^{\ast }$ est une partie non vide de $\mathbb{N}$, elle a un plus petit élément, notons-le $n$. D'une part $n\mathbb{Z}\subset H$ : $n\in H$, donc $n+n,n+n+n,\dots$ sont dans $H$ par stabilité, et leurs opposés aussi. D'autre part, soit $x\in H$ ; la division euclidienne de $x$ par $n$ s'écrit $x=nq+r$ avec $0\le r<n$. Or $r=x-nq$ est la différence de deux éléments de $H$, donc $r\in H$. Si $r$ était strictement positif, ce serait un élément de $H\cap {\mathbb{N}}^{\ast }$ strictement plus petit que $n$, contredisant la minimalité de $n$. Donc $r=0$ et $x=nq\in n\mathbb{Z}$. Ainsi $H=n\mathbb{Z}$.

b) La borne inférieure existe. Comme $H\ne \{0\}$, il existe $h\in H$ avec $h\ne 0$ ; comme $-h\in H$ aussi, l'un des deux est strictement positif : $H\cap {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ est non vide. Il est minoré par $0$. Par la propriété de la borne inférieure, $a=\inf (H\cap {\mathbb{R}}_{+}^{\ast })$ existe, et $a\ge 0$ puisque $0$ est un minorant.

c) Le cas $a>0$ : une règle graduée.

$a$ appartient à $H$. Raisonnons par l'absurde et supposons $a\notin H$. Par la caractérisation de la borne inférieure avec $\epsilon =a>0$, il existe $h_1\in H\cap {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ tel que $a\le h_1<2a$ ; comme $a\notin H$, en fait $a<h_1<2a$. Appliquons de nouveau la caractérisation, avec $\epsilon =h_1-a>0$ : il existe $h_2\in H\cap {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ tel que $a\le h_2<h_1$, et encore $a<h_2$ puisque $a\notin H$. Alors $h_1-h_2\in H$ (stabilité par différence) et $0<h_1-h_2<2a-a=a$ : voilà un élément de $H\cap {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ strictement inférieur à la borne inférieure $a$. Contradiction. Donc $a\in H$.

$H=a\mathbb{Z}$. Comme $a\in H$, tous les multiples $ka$, $k\in \mathbb{Z}$, sont dans $H$ : $a\mathbb{Z}\subset H$. Réciproquement, soit $x\in H$. Posons $q=\lfloor x/a\rfloor$ et $r=x-qa$ ; alors $0\le r<a$ par définition de la partie entière, et $r\in H$ comme différence de $x$ et de $qa$, deux éléments de $H$. Si $r>0$, alors $r\in H\cap {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ avec $r<a$ : impossible. Donc $r=0$ et $x=qa\in a\mathbb{Z}$. Ainsi $H=a\mathbb{Z}$ : c'est le a), où la division euclidienne par $a$ remplace la division euclidienne par $n$.

d) Le cas $a=0$ : la densité. Soient $u<v$ deux réels. Comme $\inf (H\cap {\mathbb{R}}_{+}^{\ast })=0$ et que $0\notin H\cap {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, la caractérisation de la borne inférieure avec $\epsilon =v-u>0$ donne un $h\in H$ tel que $0<h<v-u$. Posons $q=\lfloor u/h\rfloor +1$, entier tel que $u/h<q\le u/h+1$ ; en multipliant par $h>0$ : $$u<qh\le u+h<u+(v-u)=v.$$ Donc $qh\in ]u,v[$, et $qh\in H$ puisque $h\in H$. Tout intervalle ouvert non vide rencontre $H$ : $H$ est dense dans $\mathbb{R}$.

Bilan. Un sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ est ou bien $\{0\}$, ou bien de la forme $a\mathbb{Z}$ avec $a>0$ (on dit qu'il est discret : ses éléments sont isolés, espacés de $a$), ou bien dense dans $\mathbb{R}$. Il n'y a pas de troisième forme.

Le point délicat. Dans le c), l'existence de $h_1$ et de $h_2$ demande deux applications successives de la caractérisation de la borne inférieure, et chaque fois l'hypothèse $a\notin H$ sert à passer de « inférieur ou égal » à « strictement inférieur ». C'est ce qui produit deux éléments distincts de $H$ dans $[a,2a[$, donc une différence dans $]0,a[$. Dans $\mathbb{Z}$, ce détour est inutile : une partie non vide de $\mathbb{N}$ a un plus petit élément. Dans $\mathbb{R}$, une partie minorée n'a pas toujours de plus petit élément, et c'est exactement pour cela que le cas $a=0$ existe.

e) Deux applications.

$\mathbb{Z}+\sqrt{2}\mathbb{Z}$ est dense. C'est un sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ : il contient $0$, et $(m+n\sqrt{2})-(m^{\prime }+n^{\prime }\sqrt{2})=(m-m^{\prime })+(n-n^{\prime })\sqrt{2}$ y reste. Il n'est pas réduit à $\{0\}$. S'il était de la forme $a\mathbb{Z}$ avec $a>0$, alors $1=m+0\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}=0+1\sqrt{2}$ seraient des multiples entiers de $a$ : $1=pa$ et $\sqrt{2}=qa$ avec $p,q\in \mathbb{Z}$ non nuls, d'où $\sqrt{2}=q/p\in \mathbb{Q}$, ce qui contredit l'irrationalité de $\sqrt{2}$. Par le bilan, $\mathbb{Z}+\sqrt{2}\mathbb{Z}$ est dense dans $\mathbb{R}$ : aussi près qu'on veut de n'importe quel réel, il y a un nombre de la forme $m+n\sqrt{2}$.

$\{\cos n:n\in \mathbb{N}\}$ est dense dans $[-1,1]$. Même raisonnement pour $H=\mathbb{Z}+2\pi \mathbb{Z}$ : sous-groupe non nul, et s'il valait $a\mathbb{Z}$, on aurait $1=pa$ et $2\pi =qa$, donc $\pi =\frac{q}{2p}$ rationnel, contre l'hypothèse admise. Donc $\mathbb{Z}+2\pi \mathbb{Z}$ est dense. Soit maintenant $y\in [-1,1]$ ; écrivons $y=\cos \theta$ avec $\theta \in [0,\pi ]$. Pour chaque entier $k\ge 1$, la densité fournit un élément $n_k+2\pi m_k$ de $H$ dans $]\theta -\frac{1}{k},\theta +\frac{1}{k}[$, avec $n_k,m_k\in \mathbb{Z}$. La suite $(n_k+2\pi m_k{)}_k$ converge vers $\theta$. Par continuité de $\cos$ et caractérisation séquentielle, $\cos (n_k+2\pi m_k)\to \cos \theta =y$ ; or $\cos (n_k+2\pi m_k)=\cos (n_k)$ par $2\pi$-périodicité, et $\cos (n_k)=\cos (|n_k|)$ par parité, avec $|n_k|\in \mathbb{N}$. Ainsi $y$ est limite d'une suite d'éléments de $\{\cos n:n\in \mathbb{N}\}$ : cet ensemble est dense dans $[-1,1]$. Les valeurs $\cos 0,\cos 1,\cos 2,\dots$ finissent par s'approcher de tout réel de $[-1,1]$ — sans jamais repasser deux fois par la même, d'ailleurs, puisque $\cos n=\cos m$ avec $n\ne m$ dans $\mathbb{N}$ forcerait $n+m\in 2\pi \mathbb{Z}$ ou $n-m\in 2\pi \mathbb{Z}$, donc $\pi$ rationnel.

Ce que l'exercice installe. La description des sous-groupes de $\mathbb{Z}$ par la division euclidienne est le modèle de toute description d'idéaux : on la refera mot pour mot au chapitre 10 pour les multiples d'un polynôme. Et l'alternative « discret ou dense » de $\mathbb{R}$ est un premier théorème de structure où l'analyse (la borne inférieure) décide d'une question d'algèbre ; la densité de $\cos n$ en est l'illustration la plus frappante, et l'on retrouvera en deuxième année la même dichotomie pour les sous-groupes du cercle.