La réunion de deux sous-groupes

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Uniquement la définition d'un sous-groupe : contient le neutre, stable par produit, stable par inverse. Tout se passe dans un groupe abstrait, sans formule : c'est le premier raisonnement de ce type, et sa forme est à retenir.

a) Sens réciproque, immédiat. Si $H\subset K$, alors $H\cup K=K$, qui est un sous-groupe. De même, si $K\subset H$, alors $H\cup K=H$.

a) Sens direct, par l'absurde. Supposons que $H\cup K$ soit un sous-groupe, et que ni $H\subset K$ ni $K\subset H$. La négation de $H\subset K$ fournit un élément $h\in H$ avec $h\notin K$ ; la négation de $K\subset H$ fournit un élément $k\in K$ avec $k\notin H$. Considérons le produit $hk$. Comme $h$ et $k$ appartiennent à $H\cup K$, qui est stable par produit, on a $hk\in H\cup K$. Deux cas.

• Si $hk\in H$. Comme $H$ est un sous-groupe, $h^{-1}\in H$, puis $k=h^{-1}(hk)\in H$ par stabilité par produit. Or $k\notin H$. Contradiction.
• Si $hk\in K$. Comme $K$ est un sous-groupe, $k^{-1}\in K$, puis $h=(hk)k^{-1}\in K$. Or $h\notin K$. Contradiction.

Dans les deux cas on aboutit à une contradiction. Donc l'une des deux inclusions a lieu. Ce qui achève la démonstration de l'équivalence.

Le point délicat. Dans chaque cas, on multiplie par l'inverse d'un facteur pris dans le sous-groupe où le produit est tombé : par $h^{-1}$ quand $hk\in H$ (et $h\in H$), par $k^{-1}$ quand $hk\in K$ (et $k\in K$). C'est là, et là seulement, que l'hypothèse « $H$ et $K$ sont des sous-groupes » — et non des parties quelconques — est consommée. Notons aussi que $hk$ n'est ni dans $H$ ni dans $K$ : le produit croisé d'un élément de $H\setminus K$ par un élément de $K\setminus H$ sort toujours de la réunion.

Un exemple. Dans $(\mathbb{Z},+)$, avec $H=2\mathbb{Z}$ et $K=3\mathbb{Z}$ : $h=2\notin 3\mathbb{Z}$, $k=3\notin 2\mathbb{Z}$, et $h+k=5$ n'est ni pair ni multiple de $3$. La réunion des pairs et des multiples de $3$ n'est pas un sous-groupe, alors que l'intersection $2\mathbb{Z}\cap 3\mathbb{Z}=6\mathbb{Z}$ en est un.

b) Un groupe n'est pas réunion de deux sous-groupes stricts. Supposons $G=H\cup K$ avec $H$ et $K$ sous-groupes. Alors $H\cup K=G$ est un sous-groupe, donc par le a), $H\subset K$ ou $K\subset H$. Dans le premier cas $G=H\cup K=K$ ; dans le second $G=H$. L'un des deux sous-groupes est $G$ tout entier : il n'existe pas de recouvrement de $G$ par deux sous-groupes stricts.

Remarque. Par trois, c'est possible : le groupe $\{e,a,b,c\}$ où chaque élément non neutre est son propre inverse et $ab=c$ (le groupe de Klein, qui est aussi $\{1,-1\}\times \{1,-1\}$ pour le produit composante par composante) est la réunion de ses trois sous-groupes $\{e,a\}$, $\{e,b\}$, $\{e,c\}$. Le nombre deux est donc le bon.

Ce que l'exercice installe. L'intersection de sous-groupes est toujours un sous-groupe ; la réunion presque jamais. Et la manière de le prouver — choisir un témoin de chaque côté, former le produit croisé, le renvoyer dans l'un ou l'autre par l'inverse — est le geste élémentaire de l'algèbre abstraite : on ne calcule pas, on fait circuler des éléments entre des sous-ensembles stables. On le refera pour les sous-espaces vectoriels au chapitre 12, où « un espace n'est pas réunion de deux sous-espaces stricts » se démontre de la même manière.