Noyaux et images

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 8 — Structures algébriques usuelles · C. Morphismes de groupes

Énoncé

Déterminer le noyau et l'image des morphismes $f : (C^{*}, \times) \to (R_{+}^{*}, \times), z \mapsto ∣ z ∣$ et $g : (R, +) \to (U, \times), t \mapsto e^{i t}$ , et préciser s'ils sont injectifs ou surjectifs.

Corrigé

Pour $f$ : $Ker f = U \neq = {1}$ , donc $f$ n'est pas injectif ; tout $r > 0$ est le module de $z = r$ : $f$ est surjectif.

Pour $g$ : $Ker g = 2 π Z$ , donc $g$ n'est pas injectif ; tout élément de $U$ s'écrit $e^{i t}$ : $g$ est surjectif. (Les noyaux $U$ et $2 π Z$ sont bien des sous-groupes, comme l'affirme le cours.)

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