L'isomorphisme exponentiel

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques MPSI, chapitre 8 — Structures algébriques usuelles · C. Morphismes de groupes

Énoncé

Montrer que $exp : (R, +) \to (R_{+}^{*}, \times)$ est un isomorphisme de groupes. Quelle est sa réciproque ?

Corrigé

C'est un morphisme : $e^{x + y} = e^{x} e^{y}$ . Il est bijectif (continue, strictement croissante, limites $0$ et $+ \infty$ : théorème de la bijection). Sa réciproque est $ln$ , automatiquement un morphisme : $ln (x y) = ln x + ln y$ . Moralité : les groupes $(R, +)$ et $(R_{+}^{*}, \times)$ sont le même groupe, vu à travers le dictionnaire $exp$ / $ln$ — le principe historique des tables de logarithmes.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.