Montrer que ℚ[√2] = { a + b√2 : a, b ∈ ℚ } est un corps.

Stratégie : sous-anneau d'abord, inverse ensuite par la quantité conjuguée. On note $K=\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}:a,b\in \mathbb{Q}\}$, partie de $\mathbb{R}$.

a) L'écriture est unique. Si $a+b\sqrt{2}=a^{\prime }+b^{\prime }\sqrt{2}$ avec $a,a^{\prime },b,b^{\prime }$ rationnels et $b\ne b^{\prime }$, alors $\sqrt{2}=\frac{a-a^{\prime }}{b^{\prime }-b}\in \mathbb{Q}$ — impossible. Donc $b=b^{\prime }$ puis $a=a^{\prime }$ : chaque élément de $K$ a un seul couple de coordonnées.

b) $K$ est un sous-anneau de $\mathbb{R}$. $1=1+0\sqrt{2}\in K$ ; la différence de deux éléments de $K$ est dans $K$ (coordonnée par coordonnée) ; et le produit y reste : $$\left(a+b\sqrt{2}\right)\left(c+d\sqrt{2}\right)=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}\in K$$ Comme $K\subset \mathbb{R}$, la commutativité et l'associativité sont héritées.

c) Tout élément non nul est inversible. Soit $z=a+b\sqrt{2}\ne 0$. Multiplions par la quantité conjuguée $\bar{z}=a-b\sqrt{2}$ : $$z\bar{z}=a^2-2b^2\in \mathbb{Q}$$ Si $a^2-2b^2=0$ : ou bien $b=0$, et alors $a=0$, donc $z=0$ — exclu ; ou bien $b\ne 0$, et ${\left(\frac{a}{b}\right)}^2=2$ ferait de $\sqrt{2}$ un rationnel — impossible. Donc $a^2-2b^2\ne 0$, et $$z^{-1}=\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}=\frac{a}{a^2-2b^2}+\frac{-b}{a^2-2b^2}\sqrt{2}\in K$$ $K$ est donc un corps (commutatif).

⚠️ Le point délicat : c'est l'irrationalité de $\sqrt{2}$ qui interdit au dénominateur de s'annuler. Le même calcul avec $\sqrt{4}$ à la place de $\sqrt{2}$ donnerait $a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b)$, qui s'annule pour $a=2b$ : et de fait $\mathbb{Q}[\sqrt{4}]=\mathbb{Q}$, où l'élément « $2-\sqrt{4}$ » est nul. Sans irrationalité, pas de corps.

Contrôle numérique. Pour $z=\frac{3}{5}-\frac{2}{7}\sqrt{2}$ : $a^2-2b^2=\frac{9}{25}-\frac{8}{49}=\frac{241}{1225}\ne 0$, et le calcul symbolique confirme $z^{-1}=\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}$. Par ailleurs aucun rationnel $p/q$ ($q\le 59$, $|p|\le 200$) n'a de carré égal à $2$, alors que la même recherche trouve bien ceux de carré $4$.

Ce que l'exercice installe. $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ est le plus petit corps contenant $\mathbb{Q}$ et $\sqrt{2}$ : c'est le premier exemple d'extension quadratique. Le procédé — multiplier par la quantité conjuguée pour rendre le dénominateur rationnel — est exactement celui qui, dans $\mathbb{C}$, donne $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$.