Un groupe sur R\{1}

L'astuce est la factorisation : $$1-x\star y=(1-x)(1-y).$$ Loi interne : si $x,y\ne 1$, alors $(1-x)(1-y)\ne 0$, donc $x\star y\ne 1$. Associativité, commutativité : $1-(x\star y)\star z=(1-x)(1-y)(1-z)$, symétrique. Neutre : $0$. Inverse : $y=\frac{x}{x-1}$.

Plus conceptuellement : $\phi :x\mapsto 1-x$ est une bijection de $E$ sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ avec $\phi (x\star y)=\phi (x)\phi (y)$ : $(E,\star )$ est l'image de $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$ par l'isomorphisme ${\phi }^{-1}$ — tous les axiomes se transportent.