Le centre d'un groupe. Soit Z(G) = { x ∈ G : ∀ g ∈ G, xg = gx }…

Stratégie : vérification directe de la caractérisation des sous-groupes ($Z(G)\ne \varnothing$ et stable par $x{y}^{-1}$), puis lecture des cas extrêmes.

a) $Z(G)$ n'est pas vide. Le neutre commute avec tout : $eg=g=ge$ pour tout $g$, donc $e\in Z(G)$.

b) Stabilité par produit. Soient $x,y\in Z(G)$ et $g\in G$. Alors $$(xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy)$$ en utilisant successivement l'associativité, la commutation de $y$ avec $g$, puis celle de $x$ avec $g$. Donc $xy\in Z(G)$.

c) Stabilité par inverse. Soit $x\in Z(G)$ et $g\in G$. De $xg=gx$ on tire, en multipliant des deux côtés par $x^{-1}$ : $$x^{-1}(xg)x^{-1}=x^{-1}(gx)x^{-1}⟹g{x}^{-1}=x^{-1}g$$ Donc $x^{-1}\in Z(G)$. Ainsi $Z(G)$ est un sous-groupe de $G$.

d) Il est abélien. Deux éléments de $Z(G)$ commutent avec tous les éléments de $G$, donc en particulier entre eux.

e) Cas extrême. $G$ est abélien $⟺$ tout élément commute avec tout : $Z(G)=G$.

⚠️ Le point délicat : au c), il faut multiplier des deux côtés, et dans le bon ordre. On ne « simplifie » pas $xg=gx$ en $g=x^{-1}gx$ sans écrire le calcul : la loi n'est pas commutative, et c'est justement ce qu'on est en train de discuter. Écrire $x^{-1}$ à gauche et à droite est ce qui fait tomber les deux $x$ du bon côté.

Contrôle numérique. Calcul exhaustif du centre de ${\mathfrak{S}}_3$ (six éléments, $36$ couples testés) : $Z({\mathfrak{S}}_3)=\{e\}$ — le centre peut être trivial. À l'opposé, ${\mathfrak{S}}_2$ est abélien et son centre est le groupe tout entier ($2$ éléments). Les deux extrêmes se produisent donc réellement.

Ce que l'exercice installe. Le centre mesure « à quel point » un groupe est commutatif : de $\{e\}$ (aucune commutation gratuite) à $G$ (groupe abélien). On le retrouvera au chapitre 9 : le centre de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est l'ensemble des matrices scalaires $\lambda I_n$.