Problème — Le théorème de Cayley : tout groupe est un groupe de permutations

1) ${\tau }_g$ est une permutation de $G$. Pour $x\in G$, ${\tau }_{g^{-1}}({\tau }_g(x))=g^{-1}(gx)=(g^{-1}g)x=ex=x$ par associativité, et de même ${\tau }_g({\tau }_{g^{-1}}(x))=g(g^{-1}x)=x$. Donc ${\tau }_{g^{-1}}\circ {\tau }_g={\tau }_g\circ {\tau }_{g^{-1}}={\mathrm{id}}_G$ : ${\tau }_g$ est une bijection de $G$ sur $G$, de réciproque ${\tau }_{g^{-1}}$. C'est la règle de calcul du cours — l'équation $gx=y$ a une unique solution $x=g^{-1}y$ — relue comme une bijectivité. Ainsi ${\tau }_g\in {\mathfrak{S}}_G$.

2) $\Phi$ est un morphisme. Soient $g,h\in G$. Pour tout $x\in G$ : $${\tau }_{gh}(x)=(gh)x=g(hx)={\tau }_g({\tau }_h(x))=({\tau }_g\circ {\tau }_h)(x),$$ par associativité. Deux applications qui coïncident en tout point sont égales : ${\tau }_{gh}={\tau }_g\circ {\tau }_h$, c'est-à-dire $\Phi (gh)=\Phi (g)\circ \Phi (h)$. $\Phi$ est un morphisme de $(G,\cdot )$ dans $({\mathfrak{S}}_G,\circ )$. Notons que l'ordre est respecté : $g$ à gauche de $h$ dans le produit, ${\tau }_g$ à gauche de ${\tau }_h$ dans la composée — on appliquera d'abord ${\tau }_h$, puis ${\tau }_g$, comme on multiplie d'abord par $h$ puis par $g$.

3) Le noyau. Le neutre de ${\mathfrak{S}}_G$ est ${\mathrm{id}}_G$. On a $g\in \mathrm{Ker}\Phi$ si et seulement si ${\tau }_g={\mathrm{id}}_G$, c'est-à-dire $gx=x$ pour tout $x\in G$. En prenant $x=e$ : $g=ge=e$. Réciproquement ${\tau }_e={\mathrm{id}}_G$. Donc $\mathrm{Ker}\Phi =\{e\}$, et par la caractérisation de l'injectivité du cours, $\Phi$ est injectif.

Le point délicat. Il suffit d'un seul $x$ pour conclure, et le bon est $x=e$ : la translation par $g$ envoie le neutre sur $g$ lui-même, elle « affiche » $g$. C'est pour cela que le noyau est trivial quel que soit le groupe.

4) Le théorème. Par le théorème du cours sur l'image d'un sous-groupe, $\Phi (G)$ est un sous-groupe de ${\mathfrak{S}}_G$. L'application $\Phi$, restreinte au but $\Phi (G)$, est un morphisme surjectif (par définition de l'image) et injectif (par 3) : c'est un isomorphisme. $G$ est isomorphe au sous-groupe $\Phi (G)$ de ${\mathfrak{S}}_G$.

Cas fini. Si $G=\{x_1,\dots ,x_n\}$ a $n$ éléments, la numérotation $\beta :\{1,\dots ,n\}\to G$, $k\mapsto x_k$, est une bijection, et l'application $\sigma \mapsto {\beta }^{-1}\circ \sigma \circ \beta$ est un isomorphisme de ${\mathfrak{S}}_G$ sur ${\mathfrak{S}}_n$ : elle est bijective, de réciproque $\rho \mapsto \beta \circ \rho \circ {\beta }^{-1}$, et c'est un morphisme, car ${\beta }^{-1}\circ (\sigma \circ {\sigma }^{\prime })\circ \beta =({\beta }^{-1}\circ \sigma \circ \beta )\circ ({\beta }^{-1}\circ {\sigma }^{\prime }\circ \beta )$, les deux $\beta$ intérieurs se simplifiant. En composant les deux isomorphismes : tout groupe fini de cardinal $n$ est isomorphe à un sous-groupe de ${\mathfrak{S}}_n$. Concrètement, on lit chaque ${\tau }_g$ comme la permutation $k\mapsto$ numéro de $g{x}_k$.

5) Exemples.

a) Dans $(\mathbb{Z},+)$, la loi est l'addition : ${\tau }_g(x)=g+x$ est la translation de $g$. L'isomorphisme $\Phi$ identifie $\mathbb{Z}$ au groupe des translations entières de la droite, et ${\tau }_{g+h}={\tau }_g\circ {\tau }_h$ dit que translater de $h$ puis de $g$, c'est translater de $g+h$.

b) Numérotons $1\to 1$, $i\to 2$, $-1\to 3$, $-i\to 4$. La translation ${\tau }_i$ multiplie par $i$ : $1\mapsto i$, $i\mapsto i^2=-1$, $-1\mapsto -i$, $-i\mapsto -i^2=1$. En numéros : $1\mapsto 2$, $2\mapsto 3$, $3\mapsto 4$, $4\mapsto 1$ — notons $c$ cette permutation circulaire. La translation ${\tau }_{-1}$ multiplie par $-1$ : $1\mapsto -1$, $i\mapsto -i$, $-1\mapsto 1$, $-i\mapsto i$, soit en numéros $1\mapsto 3$, $2\mapsto 4$, $3\mapsto 1$, $4\mapsto 2$ : elle échange $1$ et $3$, et échange $2$ et $4$. On vérifie que c'est $c\circ c$ : $c(c(1))=c(2)=3$, $c(c(2))=c(3)=4$, conformément à ${\tau }_{-1}={\tau }_{i\cdot i}={\tau }_i\circ {\tau }_i$. De même ${\tau }_{-i}={\tau }_{i^3}=c\circ c\circ c$ : $1\mapsto 4$, $2\mapsto 1$, $3\mapsto 2$, $4\mapsto 3$, et ${\tau }_1=\mathrm{id}$. Ainsi $\Phi ({\mathbb{U}}_4)=\{\mathrm{id},c,c^2,c^3\}$ : un sous-groupe de ${\mathfrak{S}}_4$ à quatre éléments (image d'un groupe par un morphisme, à quatre éléments par injectivité), et l'on constate que $c^4=\mathrm{id}$, comme $i^4=1$.

c) Pour la translation à droite, $({\rho }_g\circ {\rho }_h)(x)={\rho }_g(xh)=xhg={\rho }_{hg}(x)$. Donc ${\rho }_g\circ {\rho }_h={\rho }_{hg}$ : l'ordre est renversé. L'application $g\mapsto {\rho }_g$ est un morphisme si et seulement si ${\rho }_{gh}={\rho }_{hg}$ pour tous $g,h$, c'est-à-dire $xgh=xhg$ pour tout $x$, soit $gh=hg$ : si et seulement si $G$ est abélien. Pour un groupe quelconque, on corrige en posant $\Psi (g)={\rho }_{g^{-1}}$ : alors $\Psi (g)\circ \Psi (h)={\rho }_{g^{-1}}\circ {\rho }_{h^{-1}}={\rho }_{h^{-1}{g}^{-1}}={\rho }_{(gh{)}^{-1}}=\Psi (gh)$, par la règle de l'inverse d'un produit. Le passage à l'inverse compense le renversement, et $\Psi$ est un morphisme injectif (même calcul de noyau qu'en 3).

6) Portée du théorème. Réduction conceptuelle : les groupes de permutations sont les groupes « concrets » — ceux qu'on sait faire calculer, dont les éléments sont des tableaux de nombres — et le théorème dit qu'il n'y a pas d'autres groupes finis que leurs sous-groupes : toute propriété démontrée pour tous les sous-groupes de tous les ${\mathfrak{S}}_n$ vaut pour tous les groupes finis. Peu commode : ${\mathfrak{S}}_n$ a $n!$ éléments. Un groupe à $6$ éléments est logé dans ${\mathfrak{S}}_6$, qui en a $720$ ; un groupe à $10$ éléments dans ${\mathfrak{S}}_{10}$, qui en a $3628800$. La copie de $G$ est un tout petit sous-groupe d'un groupe immense, et la structure de $G$ n'y est pas plus lisible qu'avant. On préfère en pratique représenter $G$ par des permutations d'un ensemble plus petit que $G$ — ${\mathbb{U}}_4$ est aussi le groupe des rotations d'un carré, qui permute ses $4$ sommets — ou par des matrices, ce que fera l'algèbre linéaire.

Le théorème obtenu — théorème de Cayley (1854). Tout groupe $G$ est isomorphe à un sous-groupe du groupe ${\mathfrak{S}}_G$ des permutations de $G$ ; tout groupe fini de cardinal $n$ est isomorphe à un sous-groupe de ${\mathfrak{S}}_n$.

Ce que le problème installe. Faire agir un groupe sur lui-même par translation, et lire chaque élément comme la permutation qu'il induit : c'est le premier exemple d'une représentation, une idée qui traverse toute l'algèbre — représenter un objet abstrait par des transformations d'un ensemble concret, sans perdre d'information (le noyau est trivial). Et l'exercice montre que la remarque du cours, « dans la table d'un groupe, chaque ligne est une permutation des éléments », n'est pas une curiosité : la ligne de $g$ est ${\tau }_g$, et la table entière est le morphisme $\Phi$.