Tout anneau intègre fini est un corps

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques MPSI, chapitre 8 — Structures algébriques usuelles · D. Anneaux et corps

Énoncé

Soit $A$ un anneau intègre (commutatif, non nul, sans diviseur de zéro) ayant un nombre fini d'éléments.

a) Soit $a \in A$ , $a \neq = 0$ . Montrer que l'application $m_{a} : A \to A$ , $x \mapsto a x$ , est injective.

b) En déduire que $m_{a}$ est surjective (une application injective d'un ensemble fini dans lui-même est bijective — résultat admis, chapitre 18), puis qu'il existe $b \in A$ tel que $ab = 1$ . Conclure que $A$ est un corps.

c) Où l'intégrité a-t-elle servi ? Où la finitude ? Donner un anneau intègre qui n'est pas un corps, puis un anneau commutatif fini qui n'est pas un corps : vérifier que $(P (E), Δ, \cap)$ , pour $E = {1, 2}$ , est un anneau à quatre éléments, de neutres $\emptyset$ et $E$ , et que ${1} \cap {2} = \emptyset$ y fait deux diviseurs de zéro.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition d'un anneau intègre, celle d'un corps, la distributivité, et le résultat admis sur les ensembles finis. La stratégie est une idée de finitude : injectif force surjectif, et surjectif signifie que $1$ est atteint.

a) $m_{a}$ est injective. Soient $x, y \in A$ tels que $a x = a y$ . Alors $a (x - y) = a x - a y = 0$ par distributivité. Comme $A$ est intègre et $a \neq = 0$ , on en déduit $x - y = 0$ , soit $x = y$ . $m_{a}$ est injective.

b) $A$ est un corps. L'application $m_{a}$ est une injection de l'ensemble fini $A$ dans lui-même : par le résultat admis, elle est bijective, donc surjective. En particulier l'élément $1$ a un antécédent : il existe $b \in A$ tel que $m_{a} (b) = ab = 1$ . Comme $A$ est commutatif, $ba = 1$ aussi : $a$ est inversible, d'inverse $b$ . Ceci vaut pour tout $a \neq = 0$ . L'anneau $A$ est commutatif, non nul, et tout élément non nul y est inversible : $A$ est un corps.

c) Le rôle de chaque hypothèse. L'intégrité a servi au a), et seulement là : c'est elle qui permet de simplifier par $a$ dans $a x = a y$ . La finitude a servi au b), et seulement là : c'est elle qui transforme l'injectivité en surjectivité. Aucune des deux ne se passe de l'autre.

Intègre, mais pas un corps. $Z$ est intègre (un produit d'entiers non nuls est non nul), et $2$ n'y est pas inversible ; l'application $x \mapsto 2 x$ est injective sur $Z$ mais son image $2 Z$ n'atteint pas $1$ . C'est l'infinité de $Z$ qui autorise une injection non surjective — comme au a) de l'exercice 6.

Fini, mais pas intègre. Prenons $E = {1, 2}$ et $P (E) = {\emptyset, {1}, {2}, E}$ , avec l'addition $Δ$ (différence symétrique) et la multiplication $\cap$ . Tout se vérifie sur les fonctions indicatrices, qui identifient $P (E)$ aux applications de $E$ dans ${0, 1}$ (TD 1) : $1_{X Δ Y} = 1_{X} + 1_{Y} - 2 1_{X} 1_{Y}$ , c'est-à-dire l'addition modulo $2$ des indicatrices, et $1_{X \cap Y} = 1_{X} 1_{Y}$ . Alors : $(P (E), Δ)$ est un groupe abélien, de neutre $\emptyset$ , où chaque partie est son propre opposé (addition modulo $2$ coordonnée par coordonnée) ; $\cap$ est associative, commutative, de neutre $E$ (car $X \cap E = X$ ) ; et la distributivité $X \cap (Y Δ Z) = (X \cap Y) Δ (X \cap Z)$ se lit sur les indicatrices : $1_{X} (1_{Y} + 1_{Z} - 2 1_{Y} 1_{Z}) = 1_{X} 1_{Y} + 1_{X} 1_{Z} - 2 (1_{X} 1_{Y}) (1_{X} 1_{Z})$ , puisque $1_{X}^{2} = 1_{X}$ . C'est un anneau commutatif à quatre éléments, de zéro $\emptyset$ et d'unité $E$ . Il n'est pas intègre : ${1} \neq = \emptyset$ , ${2} \neq = \emptyset$ , et pourtant ${1} \cap {2} = \emptyset$ , le zéro de l'anneau. Ni ${1}$ ni ${2}$ n'est inversible (pour $X \cap Y = E$ il faut $X = Y = E$ ), donc ce n'est pas un corps : la finitude seule ne suffit pas.

Ce que l'exercice installe. « Injectif implique surjectif sur un ensemble fini » est un principe qui reviendra sous une forme plus riche au chapitre 12 — en dimension finie, un endomorphisme injectif est bijectif — et qui fait, en deuxième année, de $Z / p Z$ un corps pour tout nombre premier $p$ . Et l'anneau $(P (E), Δ, \cap)$ montre qu'une structure d'anneau peut se cacher là où l'on ne voyait que du vocabulaire ensembliste.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.