mathématiques MPSI · Chapitre 8 · Exercice de TD

Tout anneau intègre fini est un corps

Structures algébriques usuelles · D. Anneaux et corps · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $A$ un anneau intègre (commutatif, non nul, sans diviseur de zéro) ayant un nombre fini d'éléments.

a) Soit $a \in A$ , $a \neq = 0$ . Montrer que l'application $m_{a} : A \to A$ , $x \mapsto a x$ , est injective.

b) En déduire que $m_{a}$ est surjective (une application injective d'un ensemble fini dans lui-même est bijective — résultat admis, chapitre 18), puis qu'il existe $b \in A$ tel que $ab = 1$ . Conclure que $A$ est un corps.

c) Où l'intégrité a-t-elle servi ? Où la finitude ? Donner un anneau intègre qui n'est pas un corps, puis un anneau commutatif fini qui n'est pas un corps : vérifier que $(P (E), Δ, \cap)$ , pour $E = {1, 2}$ , est un anneau à quatre éléments, de neutres $\emptyset$ et $E$ , et que ${1} \cap {2} = \emptyset$ y fait deux diviseurs de zéro.

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition d'un anneau intègre, celle d'un corps, la distributivité, et le résultat admis sur les ensembles finis. La stratégie est une idée de finitude : injectif force surjectif, et surjectif signifie que $1$ est atteint.

a) $m_{a}$ est injective. Soient $x, y \in A$ tels que $a x = a y$ . Alors $a (x - y) = a x - a y = 0$ par distributivité. Comme $A$ est intègre et $a \neq = 0$ , on en déduit $x - y = 0$ , soit $x = y$ . $m_{a}$ est injective.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour le b), le résultat admis me donne que $m_{a}$ est bijective, donc elle a une réciproque $m_{a}^{- 1}$ . Est-ce que ça signifie directement que $a$ est inversible dans $A$ ?

Pas directement : $m_{a}^{- 1}$ est une application de $A$ dans $A$ , pas un élément de $A$ . Quelle égalité entre éléments de $A$ dois-tu obtenir pour que $a$ soit inversible, et comment l'écrire à l'aide de $m_{a}$ ?

Élève

Il me faut un $b \in A$ avec $ab = 1$ , ce qui s'écrit $m_{a} (b) = 1$ . Donc ce qui compte, c'est la surjectivité et non la réciproque elle-même.

C'est cela. Pour conclure que $A$ est un corps, quelles conditions de la définition restent à vérifier, et à quel endroit les hypothèses « commutatif » et « non nul » interviennent-elles ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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