Étude d'une loi : le monoïde max

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques MPSI, chapitre 8 — Structures algébriques usuelles · A. Lois de composition interne

Énoncé

Sur $N$ , on considère la loi $x ⋆ y = max (x, y)$ . Étudier l'associativité, la commutativité, l'existence d'un neutre et les éléments inversibles. $(N, ⋆)$ est-il un groupe ?

Corrigé

La loi est associative et commutative. Le neutre est $0$ : $max (x, 0) = x$ . Mais pour $x \geq 1$ , l'équation $max (x, y) = 0$ n'a aucune solution : seul $0$ est inversible. $(N, ⋆)$ n'est donc pas un groupe — c'est un exemple de monoïde : tous les axiomes sauf l'inversibilité.

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