Nilpotents : la série géométrique tronquée

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le calcul dans un anneau : l'identité $x^n-y^n=(x-y){\sum }_{j=0}^{n-1}{x}^j{y}^{n-1-j}$ et la formule du binôme, toutes deux valables pour deux éléments qui commutent (proposition du cours). La stratégie : la relation $a^k=0$ fait s'arrêter les sommes infinies.

a) L'inverse de $1-a$. Les éléments $1$ et $a$ commutent, donc la factorisation du cours s'applique avec $x=1$, $y=a$ et $n=k$ : $$(1-a)\left(1+a+a^2+\cdots +a^{k-1}\right)=1^k-a^k=1-0=1,$$ et de même dans l'autre ordre, $\left(1+a+\cdots +a^{k-1}\right)(1-a)=1$, puisque tous les termes commutent. Donc $1-a$ est inversible, d'inverse $1+a+a^2+\cdots +a^{k-1}$. C'est la série géométrique $\frac{1}{1-a}=\sum a^j$, qui devient un calcul exact parce que ses termes sont nuls à partir du rang $k$.

b) Somme et produit de nilpotents qui commutent. Soient $p,q\ge 1$ avec $a^p=0$ et $b^q=0$. Comme $a$ et $b$ commutent, la formule du binôme s'applique : $$(a+b{)}^{p+q-1}=\sum _{j=0}^{p+q-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{p+q-1}{j})a^j{b}^{p+q-1-j}.$$ (le coefficient binomial se lit « $j$ parmi $p+q-1$ »). Pour chaque indice $j$ : ou bien $j\ge p$, et alors $a^j=a^p{a}^{j-p}=0$ ; ou bien $j\le p-1$, et alors $p+q-1-j\ge q$, donc $b^{p+q-1-j}=0$. Chaque terme est nul : $(a+b{)}^{p+q-1}=0$, et $a+b$ est nilpotent. Pour le produit, la commutation donne $(ab{)}^p=a^p{b}^p=0$ : $ab$ est nilpotent.

Le point délicat. Sans commutation, tout tombe : au chapitre 9, on trouvera deux matrices nilpotentes $E_{1,2}$ et $E_{2,1}$ dont la somme $E_{1,2}+E_{2,1}$ vérifie $(E_{1,2}+E_{2,1}{)}^2=I_2$ et n'est pas nilpotente. Le binôme exige $ab=ba$, et l'exercice ne dit rien d'autre.

c) $u-a$ inversible. Écrivons $u-a=u\left(1-u^{-1}a\right)$, ce qui est licite car $u$ est inversible. Montrons que $u^{-1}a$ est nilpotent. D'abord $u^{-1}$ commute avec $a$ : de $ua=au$, on tire en multipliant à gauche et à droite par $u^{-1}$, $u^{-1}(ua)u^{-1}=u^{-1}(au)u^{-1}$, soit $a{u}^{-1}=u^{-1}a$. Donc ${\left(u^{-1}a\right)}^k=u^{-k}{a}^k=0$ dès que $a^k=0$. Par le a), $1-u^{-1}a$ est inversible, d'inverse ${\sum }_{j=0}^{k-1}{\left(u^{-1}a\right)}^j$. Ainsi $u-a$ est le produit de deux inversibles, donc inversible, d'inverse ${\left(1-u^{-1}a\right)}^{-1}{u}^{-1}$ (inverse d'un produit : l'ordre se renverse).

Nilpotent et inversible ? Supposons $a$ nilpotent, $a^k=0$, et inversible. Alors $a^k$ est inversible comme produit d'inversibles, or $0$ n'est pas inversible dans un anneau non nul ($0\cdot x=0\ne 1$). Contradiction. Dans un anneau non nul, aucun élément nilpotent n'est inversible — et l'exercice montre qu'en revanche, « inversible moins nilpotent » est toujours inversible, pourvu qu'ils commutent.

Ce que l'exercice installe. La série géométrique tronquée est l'outil d'inversion des éléments de la forme $1-a$, et l'on s'en servira au chapitre 9 pour inverser $I_n-N$ avec $N$ nilpotente, puis toute matrice triangulaire. Et la formule du binôme, avec un exposant « assez grand » pour tuer chaque terme, est le modèle du calcul des puissances de $\lambda I_n+N$.