L'addition relativiste des vitesses, ou le transport de structure

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition de $\mathrm{th}$ par les exponentielles, le théorème de la bijection (une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection sur l'intervalle image), la dérivée ${\mathrm{th}}^{\prime }=1-{\mathrm{th}}^2$, et les définitions du chapitre : loi interne, groupe, morphisme, isomorphisme. La stratégie est annoncée par l'énoncé : on ne vérifie pas les axiomes, on les importe de $(\mathbb{R},+)$ à travers une bijection qui échange les deux lois.

a) La formule d'addition. En multipliant numérateur et dénominateur par $e^x$, on a $\mathrm{th}x=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$. Posons $u=e^{2a}$ et $v=e^{2b}$, de sorte que $\mathrm{th}a=\frac{u-1}{u+1}$ et $\mathrm{th}b=\frac{v-1}{v+1}$. Alors $$\mathrm{th}a+\mathrm{th}b=\frac{(u-1)(v+1)+(v-1)(u+1)}{(u+1)(v+1)}=\frac{2uv-2}{(u+1)(v+1)},$$ car les termes $u-v$ et $v-u$ se détruisent, et $$1+\mathrm{th}a\mathrm{th}b=\frac{(u+1)(v+1)+(u-1)(v-1)}{(u+1)(v+1)}=\frac{2uv+2}{(u+1)(v+1)},$$ car les termes $u+v$ et $-u-v$ se détruisent. Le quotient vaut $\frac{uv-1}{uv+1}$, et $uv=e^{2(a+b)}$ : c'est exactement $\mathrm{th}(a+b)$. La formule est établie. Remarquons qu'elle a la forme de $\star$ : $\mathrm{th}(a+b)=\mathrm{th}a\star \mathrm{th}b$, dès qu'on sait que $\mathrm{th}a$ et $\mathrm{th}b$ sont dans $]-1,1[$, ce qui est la question suivante.

b) La loi est interne, et $\phi$ transporte $\star$ sur $+$.

La loi est interne. Soient $x,y\in ]-1,1[$. D'abord $|xy|<1$, donc $1+xy>0$ : $x\star y$ est bien défini. Ensuite, deux factorisations : $$1-x\star y=\frac{1+xy-x-y}{1+xy}=\frac{(1-x)(1-y)}{1+xy},1+x\star y=\frac{1+xy+x+y}{1+xy}=\frac{(1+x)(1+y)}{1+xy}.$$ Dans chacune, numérateur et dénominateur sont strictement positifs. Donc $x\star y<1$ et $x\star y>-1$ : $\star$ est une loi de composition interne sur $]-1,1[$.

La bijection. La fonction $\mathrm{th}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, de dérivée $1-{\mathrm{th}}^2=\frac{4}{(e^x+e^{-x}{)}^2}>0$ : elle est continue et strictement croissante. Ses limites sont $-1$ en $-\infty$ et $1$ en $+\infty$ (écrire $\mathrm{th}x=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}$ pour la seconde). Par le théorème de la bijection, $\mathrm{th}$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]-1,1[$. On peut d'ailleurs expliciter $\phi$ : résoudre $y=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$ donne $e^{2x}=\frac{1+y}{1-y}$, soit $\phi (y)=\frac{1}{2}\ln \frac{1+y}{1-y}$ — mais on n'en aura pas besoin. (Le programme ne nomme pas cette fonction réciproque ; on n'utilise d'elle que son existence.)

Le transport. Soient $x,y\in ]-1,1[$ ; posons $a=\phi (x)$ et $b=\phi (y)$, de sorte que $x=\mathrm{th}a$ et $y=\mathrm{th}b$. Par le a), $x\star y=\mathrm{th}a\star \mathrm{th}b=\mathrm{th}(a+b)$. En appliquant $\phi$ : $\phi (x\star y)=a+b=\phi (x)+\phi (y)$. $\phi$ transforme la loi $\star$ en l'addition.

c) Le groupe, sans vérifier l'associativité. Tout se déduit de la relation $\phi (x\star y)=\phi (x)+\phi (y)$ et de l'injectivité de $\phi$.

Associativité. Pour $x,y,z\in ]-1,1[$ : $\phi ((x\star y)\star z)=\phi (x\star y)+\phi (z)=\phi (x)+\phi (y)+\phi (z)$, et de même $\phi (x\star (y\star z))=\phi (x)+\phi (y)+\phi (z)$, car l'addition des réels est associative. Les deux images par $\phi$ sont égales ; $\phi$ est injective ; donc $(x\star y)\star z=x\star (y\star z)$.

Commutativité. $\phi (x\star y)=\phi (x)+\phi (y)=\phi (y)+\phi (x)=\phi (y\star x)$, et l'injectivité conclut.

Neutre. Le neutre de $(\mathbb{R},+)$ est $0=\phi (0)$, puisque $\mathrm{th}0=0$. Pour tout $x$ : $\phi (x\star 0)=\phi (x)+0=\phi (x)$, donc $x\star 0=x$. On le lit aussi directement : $x\star 0=\frac{x}{1}=x$. Le neutre est $0$.

Inverse. L'opposé de $\phi (x)$ dans $\mathbb{R}$ est $-\phi (x)=\phi (-x)$, car $\mathrm{th}$ est impaire. Alors $\phi (x\star (-x))=\phi (x)+\phi (-x)=0=\phi (0)$, donc $x\star (-x)=0$. Directement : $x\star (-x)=\frac{0}{1-x^2}=0$. L'inverse de $x$ est $-x$.

Ainsi $(]-1,1[,\star )$ est un groupe abélien, et $\phi$, morphisme bijectif, est un isomorphisme de $(]-1,1[,\star )$ sur $(\mathbb{R},+)$.

Le point délicat. La surjectivité de $\mathrm{th}$ sur $]-1,1[$ est indispensable : c'est elle qui permet d'écrire tout élément de $]-1,1[$ sous la forme $\mathrm{th}a$, donc d'appliquer la formule d'addition à tous les couples. Sans elle, l'associativité ne serait démontrée que sur l'image de $\mathrm{th}$. C'est le théorème de la bijection qui ferme l'argument.

d) Le principe général du transport de structure. Énoncé. Soient $(G,\cdot )$ un groupe, $E$ un ensemble et $\phi :E\to G$ une bijection. Pour $x,y\in E$ on pose $x\star y={\phi }^{-1}(\phi (x)\cdot \phi (y))$. Alors $(E,\star )$ est un groupe, $\phi$ est un isomorphisme de $(E,\star )$ sur $(G,\cdot )$, et $(E,\star )$ est abélien si et seulement si $G$ l'est.

Démonstration. La définition s'écrit $\phi (x\star y)=\phi (x)\phi (y)$ : $\phi$ transporte $\star$ sur la loi de $G$. On refait le c) mot pour mot. Associativité : $\phi ((x\star y)\star z)=\phi (x)\phi (y)\phi (z)=\phi (x\star (y\star z))$, par associativité dans $G$, puis injectivité de $\phi$. Neutre : posons $e_E={\phi }^{-1}(e_G)$ ; alors $\phi (x\star e_E)=\phi (x)e_G=\phi (x)$, donc $x\star e_E=x$, et de même $e_E\star x=x$. Inverse : posons $x^{\prime }={\phi }^{-1}(\phi (x{)}^{-1})$ ; alors $\phi (x\star x^{\prime })=\phi (x)\phi (x{)}^{-1}=e_G=\phi (e_E)$, donc $x\star x^{\prime }=e_E$, et de même $x^{\prime }\star x=e_E$. Enfin $\phi$ est un morphisme bijectif, donc un isomorphisme, et la commutativité se transporte dans les deux sens par le même argument. Ce qui achève la démonstration du principe.

Application à $x\star y=x+y-xy$ sur $E=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Prenons $\phi :E\to {\mathbb{R}}^{\ast }$, $\phi (x)=1-x$. C'est une bijection de $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}={\mathbb{R}}^{\ast }$, de réciproque $t\mapsto 1-t$. Et $$\phi (x)\phi (y)=(1-x)(1-y)=1-x-y+xy=1-(x+y-xy)=\phi (x\star y).$$ Donc $\star$ est exactement la loi transportée de $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$ par $\phi$ : $(\mathbb{R}\setminus \{1\},\star )$ est un groupe abélien isomorphe à $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$. Le neutre est ${\phi }^{-1}(1)=0$ ; l'inverse de $x$ est ${\phi }^{-1}\left(\frac{1}{1-x}\right)=1-\frac{1}{1-x}=\frac{-x}{1-x}=\frac{x}{x-1}$. On vérifie : $x\star \frac{x}{x-1}=x+\frac{x}{x-1}-\frac{x^2}{x-1}=x+\frac{x-x^2}{x-1}=x-x=0$. Au passage, la loi est interne parce que $(1-x)(1-y)\ne 0$ dès que $x,y\ne 1$ : c'est la stabilité de ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par produit, transportée.

e) La physique. Avec $x=y=0,9$ : $x\star y=\frac{1,8}{1+0,81}=\frac{1,8}{1,81}\approx 0,9945$. Deux vitesses de neuf dixièmes de la vitesse de la lumière se composent en une vitesse d'environ $0,9945$ fois la vitesse de la lumière — et non $1,8$ fois. On ne dépasse jamais $1$ parce que la loi est interne à $]-1,1[$ : c'est le b). Et la raison profonde est l'isomorphisme : composer deux vitesses, c'est additionner leurs images $\phi (x)$ et $\phi (y)$ (les physiciens les appellent rapidités), qui sont des réels quelconques ; la vitesse composée est la tangente hyperbolique de cette somme, et une tangente hyperbolique est toujours strictement comprise entre $-1$ et $1$.

Ce que l'exercice installe. On ne démontre pas qu'un ensemble est un groupe en vérifiant les axiomes un par un : on cherche une bijection qui échange sa loi avec celle d'un groupe connu, et tout se transporte. Ce réflexe est celui de toute l'algèbre linéaire à venir — un isomorphisme d'espaces vectoriels ou un changement de base ne sont rien d'autre. Et le programme, qui demande d'éviter « l'étude de lois artificielles », dit précisément ceci : une loi n'est jamais artificielle quand on sait de quel groupe elle est le transport.