mathématiques MPSI · Chapitre 8 · Exercice de TD

L'addition relativiste des vitesses, ou le transport de structure

Structures algébriques usuelles · A. Lois de composition interne · niveau 2

Énoncé

Sur $] - 1, 1 [$ , on pose $x ⋆ y = \frac{x + y}{1 + x y}$ (loi d'addition des vitesses en relativité restreinte, en unités où la vitesse de la lumière vaut $1$ ). On note $th$ la tangente hyperbolique (se prononce « tangente hyperbolique », ou en épelant « t » « h », jamais comme le mot « thé ») : $th x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}$ .

a) Vérifier la formule d'addition $th (a + b) = \frac{th a + th b}{1 + th a th b}$ pour tous réels $a, b$ .

b) Montrer que $⋆$ est une loi de composition interne sur $] - 1, 1 [$ . Justifier que $th$ est une bijection de $R$ sur $] - 1, 1 [$ ; on note $φ :] - 1, 1 [\to R$ sa bijection réciproque. Montrer que $φ (x ⋆ y) = φ (x) + φ (y)$ pour tous $x, y \in] - 1, 1 [$ .

c) En déduire que $(] - 1, 1 [, ⋆)$ est un groupe abélien isomorphe à $(R, +)$ , sans vérifier l'associativité à la main ; préciser le neutre et l'inverse de $x$ .

d) Énoncer et démontrer le principe général : si $(G, \cdot)$ est un groupe et $φ : E \to G$ une bijection, alors la loi $x ⋆ y := φ^{- 1} (φ (x) \cdot φ (y))$ fait de $E$ un groupe isomorphe à $G$ . Reconnaître ainsi la loi $x ⋆ y = x + y - x y$ sur $R ∖ {1}$ comme un transport de $(R^{*}, \times)$ .

e) Deux vitesses valant chacune neuf dixièmes de la vitesse de la lumière se composent en quelle vitesse ? Pourquoi ne dépasse-t-on jamais la vitesse de la lumière ?

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition de $th$ par les exponentielles, le théorème de la bijection (une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection sur l'intervalle image), la dérivée $th^{'} = 1 - th^{2}$ , et les définitions du chapitre : loi interne, groupe, morphisme, isomorphisme. La stratégie est annoncée par l'énoncé : on ne vérifie pas les axiomes, on les importe de $(R, +)$ à travers une bijection qui échange les deux lois.

a) La formule d'addition. En multipliant numérateur et dénominateur par $e^{x}$ , on a $th x = \frac{e ^{2 x} - 1}{e ^{2 x} + 1}$ . Posons $u = e^{2 a}$ et $v = e^{2 b}$ , de sorte que $th a = \frac{u - 1}{u + 1}$ et $th b = \frac{v - 1}{v + 1}$ . Alors $th a + th b = \frac{( u - 1 ) ( v + 1 ) + ( v - 1 ) ( u + 1 )}{( u + 1 ) ( v + 1 )} = \frac{2 uv - 2}{( u + 1 ) ( v + 1 )},$ car les termes $u - v$ et $v - u$ se détruisent, et $1 + th a th b = \frac{( u + 1 ) ( v + 1 ) + ( u - 1 ) ( v - 1 )}{( u + 1 ) ( v + 1 )} = \frac{2 uv + 2}{( u + 1 ) ( v + 1 )},$ car les termes $u + v$ et $- u - v$ se détruisent. Le quotient vaut $\frac{uv - 1}{uv + 1}$ , et $uv = e^{2 (a + b)}$ : c'est exactement $th (a + b)$ . La formule est établie. Remarquons qu'elle a la forme de $⋆$ : $th (a + b) = th a ⋆ th b$ , dès qu'on sait que $th a$ et $th b$ sont dans $] - 1, 1 [$ , ce qui est la question suivante.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour montrer que $x ⋆ y \in] - 1, 1 [$ , j'ai essayé de prouver $∣ x + y ∣ < ∣1 + x y ∣$ en distinguant les signes de $x$ et $y$ , mais je m'embrouille dans les cas.

Plutôt que de comparer des valeurs absolues, étudie séparément le signe de $1 - x ⋆ y$ et celui de $1 + x ⋆ y$ , réduits au même dénominateur. Que remarques-tu sur les numérateurs obtenus ?

Élève

Pour $1 - x ⋆ y$ , le numérateur $1 + x y - x - y$ se factorise en $(1 - x) (1 - y)$ , et $1 + x y > 0$ puisque $∣ x y ∣ < 1$ . L'autre se traite de la même façon.

Bien. Pour l'égalité $φ (x ⋆ y) = φ (x) + φ (y)$ , pose $a = φ (x)$ et $b = φ (y)$ : comment s'écrivent $x$ et $y$ à l'aide de $a$ et $b$ , et que dit alors le a) de $x ⋆ y$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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