Soit G un groupe tel que x² = e pour tout x ∈ G. Montrer que G est…

Stratégie : calcul direct dans le groupe. L'hypothèse dit que tout élément est son propre inverse : $x^2=e⟺x^{-1}=x$. On applique cela à un produit.

a) L'hypothèse appliquée à $xy$. Soient $x,y\in G$. Comme $xy\in G$, l'hypothèse donne $(xy{)}^2=e$, c'est-à-dire $$xyxy=e$$

b) On simplifie à gauche et à droite. Multiplions à gauche par $x$ et à droite par $y$ : $$x(xyxy)y=xey⟹(x^2)yx(y^2)=xy⟹e\cdot yx\cdot e=xy$$ donc $yx=xy$ : le groupe est abélien.

⚠️ Le point délicat : dans un groupe non commutatif, on ne « simplifie » pas, on multiplie des deux côtés en respectant l'ordre. Écrire « $xyxy=e$ donc $xy=(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}=yx$ » est correct — c'est la même démonstration en une ligne — mais l'égalité $(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}$ renverse l'ordre : c'est elle qui fait tout le travail, et l'oublier est l'erreur classique.

c) La réciproque est fausse. Un groupe abélien n'a aucune raison de vérifier $x^2=e$ : dans $(\mathbb{Z},+)$, la condition s'écrirait $2x=0$, donc $x=0$.

Contrôle numérique. Sur $G=(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^3$ (huit éléments) : tout élément vérifie $x+x=0$, et le groupe est bien commutatif — vérification exhaustive sur les $64$ couples. À l'inverse, ${\mathfrak{S}}_3$ n'est pas abélien, et de fait il contient des éléments de carré $\ne e$ (les cycles d'ordre $3$) : l'hypothèse y est en défaut, comme il se doit.

Ce que l'exercice installe. Une identité vérifiée par tous les éléments d'un groupe contraint sa structure globale. Ces groupes-là (dits élémentaires abéliens) sont exactement les $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^n$ — le cas $n=1$ étant $\{-1,1\}$, le cas $n=2$ le groupe de Klein.