Un morphisme est déterminé par l'image de $1$

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition d'un morphisme de groupes, ses propriétés ($f(0)=0$, $f(-x)=-f(x)$, $f(nx)=nf(x)$ en notation additive, $f(x^n)=f(x{)}^n$ en notation multiplicative), la caractérisation de l'injectivité par le noyau, la description ${\mathbb{U}}_n=\{{\omega }^k:0\le k\le n-1\}$ avec $\omega =e^{2i\pi /n}$ (chapitre 3), et la définition d'un morphisme d'anneaux, qui impose $f(1)=1$. La stratégie est la même partout : l'image de $1$ commande tout, et l'on regarde ce qu'elle a le droit d'être.

a) Les morphismes de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}$. Soit $f$ un morphisme, et posons $c=f(1)$. Pour $n\in \mathbb{N}$, une récurrence donne $f(n)=nc$ : $f(0)=0$, et $f(n+1)=f(n)+f(1)=nc+c$. Pour $n<0$, $f(n)=-f(-n)=-(-n)c=nc$. Donc $f(n)=cn$ pour tout $n\in \mathbb{Z}$. Réciproquement, pour tout $c\in \mathbb{Z}$, l'application $n\mapsto cn$ est un morphisme : $c(n+m)=cn+cm$. Les morphismes de $(\mathbb{Z},+)$ dans lui-même sont exactement les multiplications par un entier $c$.

Injectivité. Le noyau de $n\mapsto cn$ est $\{n:cn=0\}$ : c'est $\mathbb{Z}$ si $c=0$, et $\{0\}$ si $c\ne 0$ (car $\mathbb{Z}$ est intègre). Donc $f$ est injectif si et seulement si $c\ne 0$. Surjectivité. Il faut que $1$ soit atteint : $1=cn$ pour un entier $n$, ce qui impose $c\mid 1$, soit $c=\pm 1$ ; réciproquement $n\mapsto n$ et $n\mapsto -n$ sont surjectifs. Bijectivité : $c=\pm 1$. Un morphisme injectif de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}$ n'est donc pas forcément surjectif — $n\mapsto 2n$ est injectif d'image $2\mathbb{Z}$ — ce qui distingue l'infini du fini.

b) De $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{Z}$. Soit $g$ un morphisme et $c=g(1)\in \mathbb{Z}$. Pour tout entier $q\ge 1$, on a $1=q\cdot \frac{1}{q}$ (somme de $q$ termes égaux à $\frac{1}{q}$), donc $c=g(1)=qg\left(\frac{1}{q}\right)$, où $g\left(\frac{1}{q}\right)$ est un entier. Ainsi $q$ divise $c$ pour tout entier $q\ge 1$. Le seul entier divisible par tous les entiers est $0$ (si $c\ne 0$, prendre $q=|c|+1>|c|$). Donc $c=0$. Alors, pour tout $q\ge 1$, $qg\left(\frac{1}{q}\right)=0$ donne $g\left(\frac{1}{q}\right)=0$, puis pour tout $p\in \mathbb{Z}$, $g\left(\frac{p}{q}\right)=pg\left(\frac{1}{q}\right)=0$. Le morphisme $g$ est nul. Moralité : $(\mathbb{Q},+)$ est « infiniment divisible » — tout élément est un multiple $q$-ième d'un autre pour tout $q$ — alors que dans $\mathbb{Z}$ seul $0$ l'est ; un morphisme transporte cette propriété, et elle ne peut atterrir que sur $0$.

c) De ${\mathbb{U}}_n$ dans $\mathbb{Z}$. Soit $h$ un morphisme de $({\mathbb{U}}_n,\times )$ dans $(\mathbb{Z},+)$, et $\omega =e^{2i\pi /n}$, de sorte que ${\mathbb{U}}_n=\{{\omega }^k:0\le k\le n-1\}$. Un morphisme du groupe multiplicatif vers le groupe additif transforme les puissances en multiples : $h({\omega }^k)=kh(\omega )$. En particulier $nh(\omega )=h({\omega }^n)=h(1)=0$, car ${\omega }^n=1$ et $h$ envoie le neutre $1$ sur le neutre $0$. Comme $n\ge 1$ et que $\mathbb{Z}$ est intègre, $h(\omega )=0$, puis $h({\omega }^k)=0$ pour tout $k$. Le morphisme $h$ est nul. Ici c'est l'inverse du b) : dans ${\mathbb{U}}_n$, tout élément est « tué » par la puissance $n$ (on dit que le groupe est de torsion), alors que dans $\mathbb{Z}$, $nx=0$ force $x=0$.

d) Les morphismes d'anneaux. Soit $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ un morphisme d'anneaux. C'est en particulier un morphisme de groupes additifs, donc $f(n)=cn$ avec $c=f(1)$ par le a). Mais la définition impose $f(1)=1$ : $c=1$ et $f$ est l'identité. Soit maintenant $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ un morphisme d'anneaux. Par le même calcul, $f(n)=nf(1)=n$ pour tout $n\in \mathbb{Z}$. Pour $q\ge 1$ : $f(q)f\left(\frac{1}{q}\right)=f\left(q\cdot \frac{1}{q}\right)=f(1)=1$, donc $f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{f(q)}=\frac{1}{q}$. Enfin $f\left(\frac{p}{q}\right)=f(p)f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{p}{q}$. $f$ est l'identité de $\mathbb{Q}$. La condition $f(1)=1$, que le cours signale comme ne découlant pas des deux autres, est ici ce qui interdit le morphisme nul et propage l'identité.

Ce que l'exercice installe. Un morphisme issu de $\mathbb{Z}$ est déterminé par l'image de $1$ ; issu de $\mathbb{Q}$, par l'image de $1$ encore, mais celle-ci doit être divisible par tout entier ; issu de ${\mathbb{U}}_n$, l'image de $\omega$ doit être annulée par $n$. À chaque fois, une contrainte sur un seul élément décide de tout le morphisme. C'est exactement ce que dira le chapitre 12 : une application linéaire est déterminée par les images des vecteurs d'une base — et le chapitre 9 en donne déjà la version matricielle.