La norme décide : $\mathbb{Z}[i{]}^{\times }$, $\mathbb{Z}[\sqrt{2}{]}^{\times }$, et $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ est un corps

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La multiplicativité du module dans $\mathbb{C}$, le fait que $a+b\sqrt{2}\mapsto a-b\sqrt{2}$ est un automorphisme de l'anneau $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ (exemple du cours), la définition du groupe des inversibles $A^{\times }$, celle d'un corps, et l'irrationalité de $\sqrt{2}$. La stratégie : une norme multiplicative à valeurs entières transforme l'équation « $z$ est inversible » en une équation dans $\mathbb{Z}$, où l'on sait tout.

a) Les entiers de Gauss. Pour $z=a+ib\in \mathbb{Z}[i]$, $N(z)=a^2+b^2=|z{|}^2$ est un entier naturel. La multiplicativité vient de celle du module : $N(z{z}^{\prime })=|z{z}^{\prime }{|}^2=|z{|}^2|z^{\prime }{|}^2=N(z)N(z^{\prime })$.

Condition nécessaire. Soit $z$ inversible dans $\mathbb{Z}[i]$, d'inverse $z^{\prime }\in \mathbb{Z}[i]$. De $z{z}^{\prime }=1$ on tire $N(z)N(z^{\prime })=N(1)=1$. Ce sont deux entiers naturels de produit $1$ : chacun vaut $1$. Donc $a^2+b^2=1$ avec $a,b$ entiers, ce qui ne laisse que $(a,b)\in \{(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)\}$, soit $z\in \{1,-1,i,-i\}$.

Condition suffisante. Ces quatre éléments sont inversibles dans $\mathbb{Z}[i]$ : $1\cdot 1=1$, $(-1)(-1)=1$, $i\cdot (-i)=1$, $(-i)\cdot i=1$, et les inverses sont bien dans $\mathbb{Z}[i]$. Donc $\mathbb{Z}[i{]}^{\times }=\{1,-1,i,-i\}={\mathbb{U}}_4$.

Le point délicat. L'argument tient parce que la norme est à valeurs entières : deux entiers naturels de produit $1$ valent $1$. Dans $\mathbb{Q}[i]$, l'égalité $N(z)N(z^{\prime })=1$ n'impose rien, et de fait tout élément non nul y est inversible. La rigidité vient de $\mathbb{Z}$, pas de $i$.