L'anneau Z[√2]

$1\in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ ; stabilité par différence évidente ; par produit : $$(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}.$$ C'est un sous-anneau de $\mathbb{R}$. De plus $(1+\sqrt{2})(-1+\sqrt{2})=1$ : $1+\sqrt{2}$ est inversible. Ses puissances $(1+\sqrt{2}{)}^n$ sont toutes inversibles et deux à deux distinctes (car $1+\sqrt{2}>1$) : le groupe $\mathbb{Z}[\sqrt{2}{]}^{\times }$ est infini — contraste frappant avec ${\mathbb{Z}}^{\times }=\{\pm 1\}$.