Identité de Sophie Germain. Factoriser X⁴ + 4 dans ℝ[X]. En déduire…

La stratégie : par complétion du carré — on ajoute et on retranche ce qu'il faut pour faire apparaître une différence de deux carrés. Le polynôme $X^4+4$ n'a aucune racine réelle et pourtant il n'est pas irréductible : c'est tout l'intérêt de l'identité.

1) La factorisation. Le terme $X^4+4$ ressemble à un début de carré : il manque le double produit. Ajoutons-le et retranchons-le : $$X^4+4=\left(X^4+4X^2+4\right)-4X^2={\left(X^2+2\right)}^2-(2X{)}^2$$ C'est une différence de deux carrés, donc $$X^4+4=\left(X^2+2-2X\right)\left(X^2+2+2X\right)=\left(X^2-2X+2\right)\left(X^2+2X+2\right)$$

2) C'est bien la décomposition en irréductibles de $\mathbb{R}[X]$. Les deux trinômes ont pour discriminant $$\Delta =4-8=-4<0$$ donc aucun n'a de racine réelle : tous deux sont irréductibles sur $\mathbb{R}$.

⚠️ « Pas de racine réelle » n'entraîne jamais « irréductible » au-delà du degré $3$. $X^4+4$ en est l'illustration exacte : il ne s'annule nulle part sur $\mathbb{R}$ (il vaut au moins $4$), et il se factorise pourtant. Le critère « racine $⟺$ facteur de degré $1$ » ne dit rien des facteurs de degré $2$.

(Complément : $X^4+4=\left(X^2-2i\right)\left(X^2+2i\right)$ a pour racines les quatre nombres $\pm 1\pm i$ ; les deux trinômes réels sont obtenus en appariant les conjuguées $1\pm i$ d'une part, $-1\pm i$ d'autre part.)

3) La conséquence arithmétique. L'identité entre polynômes est une identité entre nombres : pour tout $n\in \mathbb{N}$, $$n^4+4=\left(n^2-2n+2\right)\left(n^2+2n+2\right)$$ Reste à voir que les deux facteurs sont $>1$ quand $n\ge 2$ — sans quoi la factorisation serait triviale. Écrivons-les sous forme canonique : $$n^2-2n+2=(n-1{)}^2+1\text{et}{n}^2+2n+2=(n+1{)}^2+1$$

• pour $n\ge 2$ : $(n-1{)}^2+1\ge 1+1=2>1$ ;
• pour $n\ge 2$ : $(n+1{)}^2+1\ge 9+1=10>1$.

Donc $n^4+4$ s'écrit comme produit de deux entiers tous deux $\ge 2$ : il n'est jamais premier pour $n\ge 2$.

⚠️ L'hypothèse $n\ge 2$ n'est pas décorative — c'est exactement le cas $n=1$ qui échoue. Pour $n=1$ le premier facteur vaut $(1-1{)}^2+1=1$ : la factorisation devient $5=1\times 5$, elle est triviale, et de fait $1^4+4=5$ est premier. La borne de l'énoncé est donc optimale.

Contrôle numérique :

$n$	$n^4+4$	$(n-1{)}^2+1$	$(n+1{)}^2+1$	produit	premier ?
$1$	$5$	$1$	$5$	$5$	oui
$2$	$20$	$2$	$10$	$20$	non
$3$	$85$	$5$	$17$	$85$	non
$4$	$260$	$10$	$26$	$260$	non
$5$	$629$	$17$	$37$	$629$	non
$6$	$1300$	$26$	$50$	$1300$	non

(La primalité de $n^4+4$ a été testée pour $n=2$ à $50$ : composite dans tous les cas.)

Ce que l'exercice installe. Une identité polynomiale se lit aussi comme un énoncé sur les entiers : c'est le pont entre l'arithmétique de $\mathbb{K}[X]$ et celle de $\mathbb{Z}$. Et la méthode « ajouter-retrancher pour faire une différence de carrés » factorise toute la famille $X^4+4a^4=\left(X^2-2aX+2a^2\right)\left(X^2+2aX+2a^2\right)$.