$P(k)=\frac{1}{k+1}$ pour $k=0,\dots ,n$ : que vaut $P(n+1)$ ?

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème d'interpolation de Lagrange (existence et unicité dans ${\mathbb{R}}_n[X]$ pour $n+1$ points distincts), la description de tous les polynômes interpolants, le théorème « un polynôme de degré $\le d$ ayant $d+1$ racines distinctes est nul », et la conséquence : un polynôme de degré $\le n+1$ ayant $n+1$ racines distinctes connues est déterminé à une constante près. La stratégie : on ne calcule jamais $P$ ; on fabrique un polynôme auxiliaire dont on connaît toutes les racines, puis on l'évalue en un point choisi pour faire disparaître l'inconnue.

a) Existence et unicité. Les $n+1$ abscisses $0,1,\dots ,n$ sont distinctes ; par le théorème d'interpolation de Lagrange, il existe un unique $P\in {\mathbb{R}}_n[X]$ prenant les valeurs $\frac{1}{k+1}$ en ces points. On pourrait l'écrire $P={\sum }_k\frac{1}{k+1}{L}_k$, mais on n'en fera rien : c'est la question c) qu'on veut, pas $P$.