Multiplicité d'une racine

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 10 — Polynômes et fractions rationnelles · D. Dérivation, Taylor, multiplicités

Énoncé

Montrer que $1$ est racine de $P = X^{4} - 5 X^{3} + 9 X^{2} - 7 X + 2$ et déterminer sa multiplicité, puis factoriser $P$ .

Corrigé

Évaluons $P$ et ses dérivées successives en $1$ : $P (1) = 0, P^{'} (1) = 0, P^{''} (1) = 0, P^{'''} (1) = - 6 \neq = 0.$ Par la caractérisation différentielle, $1$ est racine de multiplicité exactement 3 : $P = (X - 1)^{3} (X - a)$ . Le produit des racines vaut $2 = a$ , donc : $P = (X - 1)^{3} (X - 2) .$

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