Factorisation réelle de X⁴+X²+1

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 10 — Polynômes et fractions rationnelles · F. Factorisations

Énoncé

Factoriser $P = X^{4} + X^{2} + 1$ en produit d'irréductibles de $R [X]$ .

Corrigé

Astuce de complétion : $X^{4} + X^{2} + 1 = (X^{2} + 1)^{2} - X^{2}$ , identité remarquable : $P = (X^{2} + X + 1) (X^{2} - X + 1) .$ Les deux trinômes ont pour discriminant $- 3 < 0$ : ils sont irréductibles dans $R [X]$ . (Sur $C$ , les racines sont $\pm j$ et $\pm j^{2}$ .)

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