PGCD par l'algorithme d'Euclide

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 10 — Polynômes et fractions rationnelles · E. Arithmétique de $K [X]$

Énoncé

Calculer $(X^{4} - 1) \land (X^{3} - 1)$ , puis retrouver le résultat par les racines complexes.

Corrigé

Euclide : $X^{4} - 1 = X (X^{3} - 1) + (X - 1)$ , puis $X^{3} - 1 = (X^{2} + X + 1) (X - 1) + 0$ : $(X^{4} - 1) \land (X^{3} - 1) = X - 1.$ Par les racines : les racines communes sont $U_{4} \cap U_{3} = {1}$ , toutes simples. (Comparer avec le chapitre 7 : $X^{4 \land 3} - 1 = X - 1$ — même formule, même algorithme !)

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