L'équation $P(X^2)=P(X)P(X+1)$

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le degré et le coefficient dominant d'un produit et d'une composée, la finitude de l'ensemble des racines d'un polynôme non nul, le théorème de d'Alembert-Gauss (tout polynôme non constant de $\mathbb{C}[X]$ est scindé) et l'unicité de la décomposition en facteurs irréductibles dans $\mathbb{C}[X]$. La stratégie : l'ensemble des racines est fini et stable par deux transformations, $a\mapsto a^2$ et $a\mapsto (a-1{)}^2$ ; un ensemble fini stable par élévation au carré ne peut contenir que des nombres de module $0$ ou $1$.

1) Constantes, et coefficient dominant. Si $P=c$ est constant, l'équation s'écrit $c=c^2$, soit $c\in \{0,1\}$ : les solutions constantes sont $0$ et $1$. Soit maintenant $P\ne 0$ une solution, de degré $n$ et de coefficient dominant $\lambda \ne 0$. Le polynôme $P(X^2)$ est de degré $2n$ et de coefficient dominant $\lambda$ ; le produit $P(X)P(X+1)$ est de degré $n+n=2n$ et de coefficient dominant $\lambda \cdot \lambda ={\lambda }^2$ (le coefficient dominant de $P(X+1)$ est encore $\lambda$). L'égalité impose $\lambda ={\lambda }^2$, donc $\lambda =1$ : toute solution non nulle est unitaire.